Collège Jean Monnet

Quadrilatère : croisé ? convexe ? concave ?

Michel Suquet — 2020-04-27T20:16:59Z

Sommaire

Croisé et non-croisé ?

Dans des exercices, on mentionne souvent que le quadrilatère à considérer est non-croiséÂ ; mais alors, que signifie croisé pour un quadrilatèreÂ ?

Pour comprendre cela, on va prendre 4 points qui seront les 4 sommets du quadrilatère. D'ailleurs, un quadrilatère [1] a 4 côtés car il a 4 sommets !

1^re disposition de 4 points

Prenons 4 points — nommés , , et — disposés comme ceciÂ :

Si on nous parle du quadrilatère , on aura ceciÂ :

Dans ce cas, on a 4 côtés [2]Â : , , et et 2 diagonales [3] et .

Par contre, toujours avec les 4 points , , et ci-dessus, si on nous parle du quadrilatère (notez bien l'ordre des points), on aura ceciÂ :

Dans ce cas, on a toujours 4 côtésÂ : , , et et 2 diagonales et .

Vous voyez donc que selon comment sont reliés 4 points, le quadrilatère obtenu n'a pas la même formeÂ ! Ci-dessus, dans le 1^er cas il est non croisé et, dans le 2^e cas, il est croisé car les côtés et se croisent.

Nous avons parlé des diagonalesÂ : traçons-les en pointillés. On obtient dans chacun des cas ci-dessus ceciÂ :

Dans le 1^er cas, les diagonales sont à l'intérieur du quadrilatère ; dans le 2^e cas, elles sont à l'extérieur du quadrilatère.

Ce que nous avons constaté avec ces 4 points disposés comme ci-dessus est-il valable pour n'importe quelle disposition de ces 4 points ?

Lorsqu'on a 4 points, obtient-on toujours un quadrilatère croisé ou un quadrilatère non-croisé selon comment on relie les 4 pointsÂ ?

Avant de lire la suite, essayez de répondre à la question en disposant les 4 points de plusieurs façons…

2^e disposition de 4 points

Prenons 4 points disposés comme ceciÂ :

On obtient alors et comme ceciÂ :

On voit donc qu'il n'est pas possible d'obtenir un quadrilatère croisé avec les 4 points de cette 2^e dispositionÂ !

Regardez les diagonalesÂ :

Il y en a toujours une qui est à l'extérieur du quadrilatère et l'autre à l'intérieur du quadrilatère.

Dans ce cas, on dit que le quadrilatère est concave.

3 sortes de quadrilatère

En résumé, on a 3 sortes de quadrilatèreÂ :

croiséÂ : les 2 diagonales sont à l'extérieur
convexeÂ : les 2 diagonales sont à l'intérieur
concaveÂ : une diagonale est à l'intérieur, l'autre est à l'extérieur

Ainsi, si un quadrilatère n'est pas croisé, il peut être convexe ou concave.

Cas des quadrilatères particuliers

Une famille de quadrilatères particuliers est celle des parallélogrammes et, dans ce cas, ils sont tous convexes et donc non-croisés.

En effet, les diagonales d'un parallélogrammes se coupent en leur milieu et donc sont toutes les deux à l'intérieur du parallélogramme donc un parallélogramme est convexe.

Parmi les parallélogrammes, il y a les rectangles, les losanges et ceux qui sont à la fois des rectangles et des losanges et que l'on nomme des carrés.

[1] quadri â†' 4, latère â†' côté

[2] un côté joint 2 sommets qui sont consécutifs : ce qui veut dire qu'ils se suivent

[3] une diagonale joint 2 sommets qui ne sont pas consécutifs et donc ne se suivent pas

Sommaire des définitions

Michel Suquet — 2015-08-28T08:07:06Z

Sommaire

Voici une liste des différents articles qui donnent des définitions de notions mathématiques étudiées au collège.

Vous trouverez aussi un lexique et quelques expressions.

Algèbre

thème	définition
nombres entiers	le PGCD de 2 nombres entiers
	les fractions irréductibles


nombres relatifs	carré et racine carré d'un nombre
	les puissances d'un nombre
	les tableaux de proportionnalités

Géométrie

thème	définition
triangles	les triangles isocèles

quadrilatères	les rectangles
	les losanges


polygones	les polygones réguliers

angles	correspondants, alternes-internes

Les polygones réguliers

Michel Suquet — 2015-01-25T15:30:00Z

Sommaire

Parmi les polygones, ceux qui sont les plus beaux sont les polygones réguliers. Ils sont souvent utilisés pour les ornements en architecture.

Vous avez vu en classe une des définitions possibles d'un polygone régulier : nous allons en présenter quelques uns en fonction du nombre de côtés.

Le triangle équilatéral

Le polygone régulier à 3 côtés est le triangle équilatéral.

Triangle équilatéral

Le carré

Le polygone régulier à 4 côtés est le carré.

Les pentagones réguliers

Il y a deux sortes de pentagones réguliers : le convexe et l'étoilé.

L'hexagone régulier

L'hexagone régulier peut être obtenu à l'aide de la construction classique de la rosace.

Les heptagones réguliers

Il y a trois sortes d'heptagone : un convexe et deux étoilés.

Les octogones réguliers

Il y a deux sortes d'octogone : un convexe et un étoilé.

Les ennéagones réguliers

Il y a trois sortes d'ennéagone : un convexe et deux étoilés.

Les décagones réguliers

Il y a deux sortes de décagone : un convexe et un étoilé.

Pour aller plus loin…

Il y a des polygones réguliers pour tout nombre de côtés au-delà du décagone : vous en trouverez des exemples sur différents sites internet.

Vous pouvez aussi les repérer sur des éléments d'architecture comme sur cette photo où on peut reconnaître un heptagone.

PGCD de deux nombres entiers

Michel Suquet — 2015-01-04T19:21:00Z

Sommaire

Définition

Définition

Le PGCD de deux nombres entiers, non nuls tous les deux, est le plus grand des diviseurs communs de ces deux nombres.

Si et sont les deux nombres entiers, on note leur PGCD ainsi : PGCD().

PGCD est l'abréviation pour "Plus Grand Commun Diviseur".

– Prenons un exemple avec 108 et 60.

Les diviseurs de 108 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54 et 108.
Les diviseurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.

Les diviseurs communs de 60 et de 108 sont donc 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Ainsi, on a PGCD() = 12.

– Prenons un autre exemple avec 27 et 16.

Les diviseurs de 27 sont 1, 3, 9 et 27.
Les diviseurs de 16 sont 1, 2, 4, 8 et 16.

Il n'y a donc qu'un seul diviseur commun de 27 et de 16 ; c'est 1.

Ainsi, on a PGCD() = 1.

Remarque : Lorsqu'il n'y a qu'un seul diviseur commun (leur PGCD est donc 1), on dit que les deux nombres sont premiers entre eux : 27 et 16 sont premiers entre eux.

Carrés et racines carrées

Michel Suquet — 2014-11-05T22:42:00Z

Sommaire

Calculer le carré d'un nombre est relativement simple : il suffit de multiplier le nombre par lui-même.

Par exemple, le carré de est puisque
et le carré de est puisque .

La table des carrés

Comme pour une table de multiplication, il existe une table des carrés que je vous conseille d'apprendre par cœur :

nombre

carré du nombre

Lien avec la géométrie

En fait, quand on multiplie un nombre par lui-même, si ce nombre mesure le côté d'un carré, on obtient l'aire du carré : c'est pour cette raison que nos ancêtres ont appelé carré le résultat du produit d'un nombre par lui-même.

On note aussi le carré de avec un en exposant après le ; comme ceci : [1].

Si on appelle un nombre, son carré est noté , ce qui se lit " au carré" ou parfois " carré". On retrouve cela dans les unités d'aires avec qui est obtenu en multipliant par .

Par exemple, .

La racine carrée

Si calculer le carré d'un nombre est simple, dans l'autre sens, lorsque l'on cherche le nombre dont le carré est connu, cela peut-être plus ou moins compliqué.

Pour cette recherche, on utilise la table des carrés inversée :

nombre

racine carrée du nombre [2]

Par exemple, est le nombre dont le carré est : un coup d'œil dans la table des racines carrées donne rapidement ce résultat.

On dit que est la racine carrée de .

Autre exemple, pour le nombre dont le carré est , on ne voit pas dans la liste des carrés de la table
cependant, on voit que
et comme est le carré de et est celui de
il en résulte que le nombre cherché est compris entre et
donc la racine carrée de est comprise entre et .

Est-ce ?

Vérifions :
c'est trop grand donc la racine carrée de est comprise entre et .

Si on "creuse" un peu plus, pour en savoir davantage sur cette racine, on peut vérifier que la racine carrée de est comprise entre et puisque et que .

Vous comprenez maintenant pourquoi nos ancêtres ont appelé ce nombre la racine carrée : cela évoque quelque chose qui est caché, comme un trésor…

La racine carrée de est d'ailleurs bien cachée car qu'il n'y a pas de nombre décimal égal à la racine carrée de [3] et c'est pourquoi nos ancêtres [4] ont inventé un signe spécial pour écrire symboliquement ce nombre : qui se lit "racine carrée de " ; le signe est appelé le radical.

Cette notation permet de compléter la table des racines carrées :

nombre
racine carrée du nombre

On peut remarquer que , , , 3, , …

Un schéma géométrique

Retenez que la racine carrée correspond au côté du carré et le carré à l'aire du carré. Ce qui se traduit par le schéma suivant :

Utiliser la calculatrice

La calculatrice a une touche particulière pour obtenir rapidement la racine carrée d'un nombre :

Pour actionner cette touche, il faut d'abord appuyer sur la touche SECONDE.

puis avec 17…

On obtient
Ce qui donne comme valeur approchée au centième de .

[1] à ne pas confondre avec $3 \times 2$ qui est égal à $6$ alors que $3^2$ est égal à $9$

[2] c'est ainsi que s'appelle le nombre dont on connait le carré

[3] en fait, il y a une infinité de chiffres après la virgule

[4] il s'agit principalement de Rudolff en 1525, de Stiefel en 1553 et de Descartes en 1637

Quelques mots en maths

Michel Suquet — 2013-03-15T17:25:26Z

Sommaire

Voici, par ordre alphabétique, un lexique qui vous donnera une définition (avec un ou deux exemples ou un lien vers un article de ce site) de quelques mots utilisés en mathématiques au collège.

Vous pourrez remarquer que certains mots peuvent avoir plusieurs sens : cela est fonction du contexte dans lequel ils sont employés.

Une difficulté supplémentaire est liée au fait que des mots peuvent avoir des sens différents (voire opposés) lorsqu'ils sont employés en dehors des mathématiques ou encore être synonymes en dehors des mathématiques sans l'être en mathématiques.

N'hésitez pas à nous écrire pour améliorer et compléter ce lexique.

A

– Angle : un angle est constitué de deux demi-droites qui ont la même origine ; cette origine commune est le sommet de l'angle et les deux demi-droites sont les côtés de l'angle.

B

– Bissectrice : la bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux parts égales.

Un triangle a trois bissectrices : ce sont les bissectrices de ses trois angles.

C

– Carré : voir à rectangle et à losange.

– Carré : la suite des nombres 0, 1, 4, 9, 16… sont obtenus en multipliant chaque nombre entier par lui-même. L'ensemble des nombres de cette suite sont les carrés entiers.

– Concourante : voir à sécante.

– Corde : dans un cercle, une corde est un segment dont les extrémités sont sur le cercle.

– Conjecture : affirmation que l'on pense être vraie mais qui n'a pas été démontrée ou réfutée. Pour réfuter une conjecture, il suffit de trouver un cas pour lequel elle est fausse.

D

– Diamètre : dans un cercle, un diamètre est une corde qui passe par le centre du cercle.

– Diamètre : Tous les diamètres d'un cercle ont la même longueur : le diamètre d'un cercle est cette longueur commune.

– Diviseur : Un nombre entier d est un diviseur d'un nombre entier n lorsque le résultat de la division de n par d est un nombre entier. Le résultat de cette division est aussi un diviseur de l'entier n. On peut dire aussi que n est un multiple de d. Par exemple, 7 est un diviseur de 35 car 35 = 7à—5. Les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7 et 35.

– Droite : la droite qui passe par les points A et B est l'ensemble des points qui sont alignés avec ces deux points A et B.

E

– Égaux : deux triangles sont égaux lorsqu'ils sont superposables.

– Entier : voir à nombre entier

– Équilatéral : voir à isocèle.

F

– Fraction : une fraction est un nombre entier d'unités rompues identiques.

G

H

– Hauteur : dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet : on dit qu'elle est issue de ce sommet. Un triangle ayant 3 sommets a donc 3 hauteurs. L'intersection d'une hauteur avec le côté opposé (ou son prolongement) est appelé le pied de la hauteur.

– Hauteur : dans un triangle, on appelle aussi hauteur la distance d'un sommet au côté opposé : c'est la longueur du segment qui joint le sommet au pied de la hauteur. Chaque triangle a trois hauteurs de ce type.

– Hauteur : dans un parallélogramme, une hauteur relative à un côté est une droite perpendiculaire à ce côté.

I

– Isocèle : un triangle isocèle est un triangle qui a au moins deux côtés de la même longueur. Lorsque le troisième côté est égal aux deux autres, on dit que le triangle est équilatéral.

J

K

L

– Losange : un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Un carré est un losange dont les quatre angles sont droits.

M

– Médiatrice : La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire au segment.

Un triangle a trois médiatrices : ce sont les médiatrices des trois côtés du triangle.

– Médiane : Un triangle a trois médianes : chaque médiane passe par un sommet et le milieu du côté opposé..

– Milieu : Le milieu d'un segment est le point de ce segment qui le partage en deux parts égales. Le milieu d'un segment est donc situé à égale distance des extrémités du segment.

Dans un triangle, on appelle droite des milieux une droite qui passe par les milieux de deux côtés de ce triangle ; il y a donc 3 droites qui possèdent cette propriété dans un triangle.

– Multiple : Les multiples d'un nombre entier n sont obtenus en multipliant n par un nombre entier. Par exemple, 18 est un multiple de 6 car 18 = 6à—3. On peut dire aussi que 6 est un diviseur de 18.

N

– Nombre entier : la suite de nombres 0, 1, 2, 3… est obtenue en ajoutant 1 à chaque élément de cette suite. L'ensemble des nombres de cette suite sont les nombres entiers naturels.

– Nombre premier : un nombre premier est un nombre entier qui n'a que 2 diviseurs positifs (1 et lui-même).
Par exemple, 7 est un nombre premier car ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 7.
9 n'est pas un nombre premier car il a trois diviseurs positifs : 1, 3 et 9.
1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur positif : 1.
Les nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

O

– Orthocentre : dans un triangle, l'orthocentre est le point de concours des 3 hauteurs du triangle.

P

– Parallèle : dans un plan, deux droites sont parallèles lorsqu'elles ne sont pas sécantes.

– Perpendiculaire : deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit.

– Parallélogramme : un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme.

– PGCD : le PGCD de deux nombres entiers, non nuls tous les deux, est le plus grand des diviseurs communs de ces deux entiers.

– Premier : voir à nombre premier.

Q

– Quadrilatère : polygone ayant 4 côtés.

– Quelconque : voir à triangle.

R

– Rayon : dans un cercle, un rayon est un segment dont une extrémité est le centre du cercle et l'autre extrémité est sur le cercle.

– Rayon : Tous les rayons d'un cercle ont la même longueur : le rayon d'un cercle est cette longueur commune.

– Rectangle : un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.

Un carré est un cas particulier de rectangle : c'est un rectangle dont les quatre côtés sont égaux.

– Rectangle : un triangle rectangle est un triangle dont un des angles est droit.

– Relatif : il y a deux sortes de nombres relatifs, les nombres positifs et les nombres négatifs. Zéro est un nombre relatif particulier car il est à la fois positif et négatif ; c'est le seul nombre ayant cette propriété.

S

– Semblable : deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont égaux 2 à 2.

– Sécante : deux droites sécantes sont deux droites qui ont un point d'intersection.

Lorsque plusieurs droites ont un seul point d'intersection, on dit qu'elles sont concourantes.

T

– Tangente : une droite est tangente à un cercle quand elle n'a qu'un seul point d'intersection avec le cercle.

– Triangle : un triangle est un polygone qui a trois côtés. Vous pouvez d'ailleurs remarquer qu'un triangle a trois angles d'où son nom ;-)

Dans la famille des triangles, on distingue les triangles rectangles et les triangles isocèles ; les triangles équilatéraux sont des triangles isocèles particuliers.

Lorsqu'on dit qu'un triangle est quelconque, cela signifie que ce peut être n'importe quel triangle : il faudra que ce que l'on dise sur ce triangle soit valable pour n'importe quel triangle (on a donc intérêt à prendre un triangle qui ne soit ni isocèle, ni rectangle). Si l'on veut dire qu'un triangle a ses trois côtés différents, on dit qu'il est scalène.

U

– Unités rompues : lorsqu'on partage une unité en parts égales, on obtient des unités rompues.

V

– Variable : une variable est une grandeur qui peut prendre plusieurs valeurs, on dit qu'elle varie ; une variable est souvent désignée par une lettre minuscule, par exemple $x$, mais il est recommandé de prendre une lettre adaptée à la situation étudiée.

– Valeur de vérité : il n'y a que 2 valeurs de vérité : vrai ou faux. Une affirmation peut être vraie ou fausse ; cependant, lorsqu'une affirmation comporte une variable, la valeur de vérité de cette affirmation peut dépendre des valeurs données à cette variable.

W

X

Y

Z

– Zigzag : un zigzag est une ligne brisée (ligne non rectiligne) formée de segments.

Les tableaux de proportionnalité

Michel Suquet — 2011-12-04T22:33:09Z

Sommaire

Ah, les fameux tableaux de proportionnalité !

Une table de multiplication

Et oui, un tableau de proportionnalité est une table de multiplication mais le nombre qui multiplie n'est pas forcément un entier.

Par exemple, la table de multiplication par $1,2$ :

Tableau 1

nombre	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$…$
$1,2$ à— nombre	$0$	$1,2$	$2,4$	$3,6$	$4,8$	$6$	$7,2$	$8,4$	$9,6$	$10,8$	$12$	$13,2$	$14,4$	$…$

mais, en plus, on n'est pas obligé de mettre des nombres entiers dans la première ligne du tableau, ni dans l'ordre :

Tableau 2

nombre	$4$	$5,6$	$15$	$0,5$
$1,2$ à— nombre	$4,8$	$6,72$	$18$	$0,6$

Et, enfin, on n'est pas obligé de mettre des légendes comme dans les tableaux ci-dessus, bien que ce soit très pratique, surtout lorsque ce tableau traduit les informations d'un énoncé ; d'ailleurs, dans ce cas-là , c'est fortement recommandé…

Ainsi, on peut imaginer qu'un commerçant propose des tomates à $1,2$ €/kg :
le tableau 1 donne alors les prix à payer pour des nombres entiers de kg.

masse (en kg)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$…$
prix (en €)	$0$	$1,2$	$2,4$	$3,6$	$4,8$	$6$	$…$

Deux grands problèmes

Avec les tableaux de proportionnalité, il y a deux problèmes qui reviennent souvent.

* 1er problème : savoir si un tableau donné est un tableau de proportionnalité.

* 2ème problème : compléter un tableau de proportionnalité.

Dans la suite, nous allons voir plusieurs méthodes plus ou moins faciles à mettre en œuvre : cela dépend des nombres qui interviennent dans le tableau.

Multiplier une colonne par un nombre

Si on observe le tableau 1, on peut remarquer qu'en multipliant la colonne correspondant à $3$ par le nombre $4$, on obtient la colonne correspondant à $12$.

En effet, $3à—4=12$ et $3,6à—4=14,4$

Cette propriété est générale pour les tableaux de proportionnalité.

Exemple : compléter le tableau de proportionnalité suivant

$2$	$8$	$b$
$5$	$a$	$25$

Le tableau étant de proportionnalité, en multipliant la 1ère colonne par $4$,
on obtient la 2ème colonne puisque $2à—4 = 8$, donc $a = 5à—4 = 20$.

De même, la 3ème colonne est obtenue en multipliant la 1ère colonne par $5$ puisque $5à—5 = 25$, donc $b = 2à—5 = 10$.

On peut d'ailleurs remarquer que ce tableau de proportionnalité est la table de $2,5$.

Additionner 2 colonnes

Si on observe le tableau 1 ci-dessus, on peut remarquer qu'en additionnant les colonnes correspondant à $2$ et à $5$, on obtient la colonne qui correspond à $7$.

En effet, $2+5=7$ et $2,4+6=8,4$.

Cette propriété est générale pour les tableaux de proportionnalité et permet de compléter un tableau de proportionnalité.

Exemple : compléter le tableau de proportionnalité suivant

$2$	$6$	$8$
$7$	$a$	$b$

Le tableau étant de proportionnalité, en multipliant la 1ère colonne par $3$, on obtient la 2ème colonne car $2à—3 = 6$, ce qui donne $a = 7à—3 = 21$.

Par ailleurs que la 3ème colonne est la somme des deux premières puisque $8 = 2+6$, donc $b = 7+21 = 28$.

On peut remarquer que ce tableau de proportionnalité est la table de $3,5$.

Traduire un tableau par des fractions

Observons le tableau 2 : en divisant le nombre de la 1ère ligne par le nombre de la 2ème ligne, on obtient une fraction. On peut alors remarquer que toutes les fractions obtenues sont égales.

En effet, on a les fractions , , et .

En simplifiant ces fractions, on a :

Toutes les fractions étant égales à , cela montre que .

Cette propriété de l'égalité des fractions est caractéristique d'un tableau de proportionnalité.

Exemple : le tableau suivant est-il de proportionnalité ?

On simplifie les fractions :

Les 3 fractions étant égales à , elles sont donc égales et on a un tableau de proportionnalité.

Le produit en croix

En reprenant les calculs ci-dessus qui concernent le tableau 2, pour montrer que les deux fractions et sont égales, plutôt que de les simplifier, on peut les mettre au même dénominateur.

Un dénominateur commun peut être obtenu par le produit des dénominateurs : de sorte que :

Ce qui montre que pour obtenir l'égalité des fractions, il est nécessaire de vérifier que les produits et sont égaux ; c'est ce qu'on appelle la méthode du produit en croix.

Exemple 1 : le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?

On calcule : et donc

puis, et donc .

Ces deux égalités montrent qu'on a un tableau de proportionnalité.

Exemple 2 : compléter le tableau de proportionnalité suivant.

Le tableau est de proportionnalité donc :

On a aussi :

Remarque : on laisse sous cette forme car n'est pas dans la table de .

Angles correspondants, alternes-internes,…

Michel Suquet — 2011-11-21T23:16:37Z

Sommaire

Lorsque 2 droites d₁ et d₂ sont coupées par une troisième droite s , que l'on nomme la sécante, on obtient 8 angles que l'on peut associer deux par deux.

Les angles alternes-internes

Les angles c et e sont à l'intérieur de la bande déterminée par les droites d₁ et d₂, ils sont de part et d'autre de la sécante s et ils ne sont pas adjacents puisqu'ils n'ont pas le même sommet.

Quand des angles comme c et e vérifient ces 3 conditions, on dit qu'ils sont alternes-internes.

Les angles d et f sont aussi des angles alternes-internes.

Les angles correspondants

Les angles b et f sont du même côté de la sécante, ils ne sont pas adjacents et il y en a un à l'intérieur de la bande déterminée par les droites d₁ et d₂ et l'autre à l'extérieur de cette bande.

Quand des angles comme b et f vérifient ces 3 conditions, on dit qu'ils sont correspondants.

Les angles c et g sont aussi des angles correspondants, ainsi que a et e et que d et h.

Les angles alternes-externes

Les angles b et h ne sont pas adjacents, sont de part et d'autre de la sécante s et il y en a un à l'extérieur de la bande déterminée par les droites d₁ et d₂ et l'autre à l'extérieur de cette bande.

Les angles b et h vérifient ces 3 conditions, on dit qu'ils sont alternes-externes.

De même, les angles a et g sont alternes-externes.

Les angles opposés par le sommet

Les angles b et d sont opposés par le sommet ; les angles a et c également, ainsi que f et h et encore g et e.

Les angles supplémentaires et adjacents

Des angles supplémentaires sont des angles dont la somme est égale à 180°.

Ainsi, les angles b et c sont supplémentaires et adjacents ; les angles b et a également, ainsi que a et d, et que d et c.

On a aussi f et e, f et g, e et h ainsi que h et g.

Noms moins utilisés

* internes : angles à l'intérieur de la bande limitée par d₁ et d₂ comme c, d, e et f.

* co-internes : les angles d et e sont co-internes ; ils sont du même côté de la sécante et à l'intérieur de la bande limitée par d₁ et d₂. Il en est de même des angles c et f.

* externes : angles à l'extérieur de la bande limitée par d₁ et d₂ comme a, b, g et h.

* co-externes : les angles a et h sont co-externes ; ils sont du même côté de la sécante et à l'extérieur de la bande limitée par d₁ et d₂. Il en est de même des angles b et g.

Les puissances d'un nombre

Michel Suquet — 2011-11-20T12:11:44Z

Sommaire

Exposant entier positif

Lorsqu'on multiplie un nombre par lui-même un certain nombre de fois, on obtient une puissance de ce nombre.

Par exemple, à—à—à—à—à—à— est une puissance de .
On la note car il y a facteurs égaux à .

En effectuant le calcul, on obtient : =.

Remarque : comme est en exposant, on dit Â« exposant Â ».

Parfois, on dit aussi Â« puissance Â »

Les puissances de 2

De même, on obtient :

=, =, =, =, =, =, =, =, …

Par exemple, si on veut calculer , il suffit de multiplier par , ce qui donne : =.
De même, =à—=à—=.

Les puissances de sont très utilisées en informatique. Par exemple pour les capacités des supports comme les clés USB : 128 Mo, 512 Mo, 256 Mo, 1024 Mo ( ou 1 Go), …

Les puissances de 3

=, =, =, =, =, =, =, =, = =

Les puissances de 4

=, =, =, =, =, =, =, =, =, =

Les puissances de 5

=, =, =, =, =, =, =, =, = , =

Exposant entier négatif

En examinant les puissances successives obtenues, on remarque que pour passer d'une puissance d'un nombre à la suivante, il suffit de multiplier par le nombre et donc, pour passer à la précédente, il suffit de diviser par le nombre.

Cela nous permet d'étendre les tables de puissances aux exposants négatifs :

… …

Nous connaissons , qui est égal à , donc pour obtenir , il suffit de diviser par : à·= donc =.

Maintenant, nous connaissons , qui vaut , donc en le divisant par , on va obtenir :

=à·=à·=

Continuons : nous connaissons , en le divisant par 4, on obtient .

=à·=à·=à—==

De même :

=à·=à·=à—==

Vous avez sans doute remarqué qu'à chaque fois on obtient l'inverse de la puissance avec l'exposant positif : est l'inverse de , est l'inverse de , est l'inverse de , …

En continuant ainsi, et pour d'autres tables de puissances, nous voyons que cela est général. Par exemple, est l'inverse de .

D'où la définition suivante : est l'inverse de et la formule correspondante est : =

Remarque : il est nécessaire que soit différent de zéro, pour pouvoir diviser par .

Exposant égal à 0

Lorsqu'on a complété la table des puissances de pour les exposants négatifs, on a vu que = puisque cela provient de = que l'on divise par .

Pour les autres tables de puissances, par exemple celle de , on a le même résultat :

=à·=à·=

On a donc la formule : = avec différent de zéro bien entendu.

Formulaire

En résumé, on a les formules suivantes :

– pour tout entier positif tel que 1" title="n>1" /> et pour tout nombre , =
– pour et pour tout nombre ,
– pour et pour tout nombre tel que ,
– pour tout entier relatif et pour tout nombre tel que ,

Les puissances de 10

Les puissances de 10 sont très utilisées en sciences. En voici quelques-unes.

– vers l'infiniment grand :
, , , , , , , …

â† vous avez remarqué ce nom rigolo ;-)

– vers l'infiniment petit :
, , , , , , …

Que veut dire cette expression dans un texte ?

Michel Suquet — 2008-11-24T10:30:19Z

Sommaire

Voici quelques explications à propos d'expressions souvent employées dans des programmes de construction de figures géométriques.

respectivement, respectifâ‹…ve

Ces mots permettent d'associer 2 à 2 les éléments de 2 listes et évite des répétitions fastidieuses.

Exemple 1 : " $A$, $B$, $C$, $D$ sont les milieux des segments $[EF]$, $[FG]$, $[MN]$ et $[KL]$ respectivement" veut dire que $A$ est le milieu de $[EF]$, $B$ est le milieu de $[FG]$, $C$ est le milieu de $[MN]$ et $D$ est le milieu de $[KL]$.

Exemple 2 : "$d_1$, $d_2$, $d_3$ sont les bissectrices respectives des angles $à‚_1$, $à‚_2$, $à‚_3$" veut dire que $d_1$ est la bissectrice de $à‚_1$, $d_2$ est la bissectrice de $à‚_2$ et $d_3$ est la bissectrice de $à‚_3$.

de part et d'autre

Cela signifie qu'un élément sépare 2 objets : un des objets se trouve d'un côté de l'élément et l'autre objet de l'autre côté.

Exemple : "placer les points $A$ et $B$ de part et d'autre de la droite $d$" est illustré dans la figure ci-dessous. La droite $d$ partage le plan en 2 parties que l'on appelle des demi-plans, le point $A$ est dans un des 1/2-plans et le point $B$ est dans l'autre.

A et B sont de part et d'autre de la droite d

Remarque : le segment $[AB]$ et la droite $d$ ont donc un point d'intersection…

Collège Jean Monnet

Quadrilatère : croisé ? convexe ? concave ?

Sommaire

Croisé et non-croisé ?

1re disposition de 4 points

2e disposition de 4 points

3 sortes de quadrilatère

Cas des quadrilatères particuliers

Sommaire des définitions

Sommaire

Algèbre

Géométrie

Les polygones réguliers

Sommaire

Le triangle équilatéral

Le carré

Les pentagones réguliers

L'hexagone régulier

Les heptagones réguliers

Les octogones réguliers

Les ennéagones réguliers

Les décagones réguliers

Pour aller plus loin…

PGCD de deux nombres entiers

Sommaire

Définition

Carrés et racines carrées

Sommaire

La table des carrés

Lien avec la géométrie

La racine carrée

Un schéma géométrique

Utiliser la calculatrice

Quelques mots en maths

Sommaire

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

Les tableaux de proportionnalité

Sommaire

Une table de multiplication

Deux grands problèmes

Multiplier une colonne par un nombre

Additionner 2 colonnes

Traduire un tableau par des fractions

Le produit en croix

Angles correspondants, alternes-internes,…

Sommaire

Les angles alternes-internes

Les angles correspondants

Les angles alternes-externes

Les angles opposés par le sommet

Les angles supplémentaires et adjacents

Noms moins utilisés

Les puissances d'un nombre

Sommaire

Exposant entier positif

1^re disposition de 4 points

2^e disposition de 4 points