Collège Jean Monnet

Angles opposés par le sommet

Michel Suquet — 2018-06-04T09:25:30Z

Sommaire

Définition

Deux angles sont opposés par le sommet quand ils ont le même sommet et quand les côtés de l'un sont dans le prolongement de côtés de l'autre.

Cette définition signifie que les côtés des angles opposés par le sommet forment deux droites sécantes ; et inversement, deux droites sécantes forment des angles opposés par le sommet.

Ainsi, dans la figure suivante, on a des angles opposés par le sommet :

et sont opposés par le sommet (repérés en bleu avec un seul arc de cercle ci-dessous)
et sont opposés par le sommet (repérés en orange avec deux arcs de cercle ci-dessous)

Théorème

Deux angles opposés par le sommet sont égaux.

Ainsi, en reprenant les figures ci-dessus, on a : = et = .

Démonstration

Soit 2 angles opposés par le sommet. Nommons-les et avec A le sommet commun.

Considérons l'angle .

Par définition des angles opposés par le sommet, A est sur la droite donc l'angle qui est la somme des angles et est un angle plat dont la valeur est égale à 180°.

En conséquence, on a : = 180° âˆ'

De même, A est sur la droite et un raisonnement similaire montre que = 180° âˆ'

En comparant les deux égalités obtenus, il en résulte que = et donc les angles opposés par le sommet sont égaux CQFD.

Conditions pour obtenir un parallélogramme

Michel Suquet — 2018-04-26T16:08:20Z

Sommaire

Dans quels cas un quadrilatère est-il un parallélogramme ? Les différents points du théorème suivant donnent un élément (parfois deux éléments) à vérifier avant de conclure qu'on a un parallélogramme ; on pourra ensuite utiliser les différentes propriétés des parallélogrammes.

Remarque : la définition des parallélogrammes donnent aussi des critères à vérifier [1] pour avoir un parallélogramme.

Théorème

Si on a un quadrilatère et si ses diagonales se coupent en leurs milieux alors c'est un parallélogramme.
Si on a un quadrilatère convexe [2] et si les côtés opposés sont égaux deux à deux alors c'est un parallélogramme.
Si on a un quadrilatère convexe et si deux côtés opposés sont parallèles et de la même longueur alors c'est un parallélogramme.

Démonstration

– Soit un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leurs milieux. Nommons-le et soit le point d'intersection de ses deux diagonales et . Il s'agit de démontrer que est un parallélogramme.

et se coupent en donc et sont opposés par leur sommet
donc ils sont égaux : =
est le milieu de donc =
est le milieu de donc =
donc les deux triangles et ont 2 angles égaux et les côtés de ces angles égaux deux à deux
donc, d'après le 1^er cas d'égalité des triangles, et sont superposables
donc =
ces deux angles étant alternes-internes, il en résulte que //

de même, en utilisant les triangles et , un raisonnement semblable montre qu'ils sont superposables et donc =
ces deux angles étant alternes-internes, il en résulte que //

ainsi, le quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c'est donc un parallélogramme. CQFD

– Soit un quadrilatère convexe dont les côtés opposés sont égaux deux à deux. Nommons-le : par hypothèse, on a = et = . Il s'agit de démontrer que est un parallélogramme.

Considérons, de plus, la diagonale [3] : on a alors 2 triangles et .

Ces deux triangles ont leurs côtés égaux deux à deux : = , = , leur côté commun : on est donc dans le 3^e cas d'égalité des triangles ; les 2 triangles et sont superposables.

Il en résulte que, d'une part, =
et comme ce sont deux angles alternes-internes, on a donc //
et, d'autre part, =
qui sont aussi deux angles alternes-internes, on a donc //

ainsi, le quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c'est donc un parallélogramme. CQFD

– Soit un quadrilatère convexe dont 2 côtés opposés sont égaux et parallèles. Nommons-le et supposons que les côtés opposés égaux et parallèles sont et : = et // . Il s'agit de démontrer que est un parallélogramme.

Considérons, de plus, la diagonale [3] : on a alors 2 triangles et .

On a // donc les angles alternes-internes et sont égaux : = .

Ainsi, les deux triangles et ont deux côtés égaux = et les côtés de ces deux angles égaux deux à deux, = et côté commun : on est donc dans le 1^er cas d'égalité des triangles ; les 2 triangles et sont superposables.

Il en résulte que =
qui sont deux angles alternes-internes, on a donc //

ainsi, le quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c'est donc un parallélogramme. CQFD

[1] les côtés opposés du quadrilatère doivent être parallèles deux à deux

[2] cela signifie que si on prend 2 points à l'intérieur du quadrilatère alors le segment qui les joint est aussi à l'intérieur du quadrilatère ; en conséquence, les deux diagonales ont un point d'intersection à l'intérieur du quadrilatère

[3] saurez-vous dire pourquoi cette diagonale est à l'intérieur du quadrilatère ?

Les parallélogrammes particuliers

Michel Suquet — 2018-04-25T15:24:10Z

Sommaire

Dans quels cas un parallélogramme est-il particulier ? Les différents points du théorème suivant répondent à cette question : selon la condition supplémentaire, on peut avoir un rectangle ou un losange ; et même un carré si on a la fois un rectangle et un losange.

Théorème

Si on a un parallélogramme et si un de ses angles est un angle droit alors c'est un rectangle.
Si on a un parallélogramme et si deux côtés consécutifs [1] sont de la même longueur alors c'est un losange.
Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont de la même longueur alors c'est un rectangle.
Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont perpendiculaires alors c'est un losange.

Démonstration

– Soit un parallélogramme dont un des angles est un angle droit. Nommons-le et supposons que l'angle droit est en : = 90°. Il s'agit de démontrer que est un rectangle.

est un parallélogramme donc //
Or, = 90° donc
donc
donc = 90°

de même, // et
donc
donc = 90°

enfin, on a aussi = 90° car et sont deux angles opposés du parallélogramme et que dans un parallélogramme 2 angles opposés sont égaux.

En résumé, les 4 angles de sont des angles droits donc c'est un rectangle. CQFD

– Soit un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur. Nommons-le et supposons que les deux côtés consécutifs et ont la même longueur : = . Il s'agit de démontrer que est un losange.

est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont égaux deux à deux : = et =
Or, =
donc = = =

ainsi, a ses 4 côtés égaux donc c'est un losange. CQFD

– Soit un parallélogramme dont les deux diagonales ont la même longueur. Nommons-le ; les deux diagonales ont la même longueur : = . Il s'agit de démontrer que est un rectangle.

est un parallélogramme donc ses deux diagonales et se coupent en leurs milieux ; nommons ce milieu commun aux deux diagonales.

De plus, par hypothèse, = donc = = = car est le milieu de et aussi de : on a donc 4 triangles isocèles en , , , et .

On sait que, dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux ; d'où la figure codée suivante (saurez-vous expliquer, par exemple, pourquoi les angles et sont égaux ? ) :

Il en résulte que =
donc, en ajoutant aux deux côtés de l'égalité, on a :
=
Or, dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°, notamment dans le triangle : = 180°
donc = 180°
donc = 90°

ainsi, le parallélogramme a un angle qui est droit donc c'est un rectangle CQFD

– Soit un parallélogramme dont les deux diagonales sont perpendiculaires. Nommons-le ; les deux diagonales sont perpendiculaires : . Il s'agit de démontrer que est un losange.

est un parallélogramme donc ses deux diagonales et se coupent en leurs milieux ; nommons ce milieu commun aux deux diagonales.

En utilisant le 1^er cas d'égalité des triangles, il en résulte que les 4 triangles , , et , tous rectangles en , sont superposables.
Par exemple, et ont deux angles égaux, = , et les côtés de ces deux angles égaux deux à deux, = avec côté commun, donc et sont superposables.
On a donc = = = .

Ainsi, a ses 4 côtés de la même longueur, c'est donc un losange. CQFD

[1] cela signifie qu'ils se suivent : les deux côtés ont une extrémité commune

Les losanges

Michel Suquet — 2018-04-24T07:06:30Z

Sommaire

Définition

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Plus de précisions sont données dans le lexique.

Théorème

Tout losange est un parallélogramme.
Tout losange a ses diagonales perpendiculaires.

Démonstration

– Soit un losange. Nommons-le . Il s'agit de montrer que est un parallélogramme.

Considérons la diagonale [BD] : on a 2 triangles, ABD isocèle en A (donc = ) et BDC isocèle en C (donc = ), qui ont leurs trois côtés égaux 2 à 2, ils sont donc superposables (cas d'égalité des triangles) et,en conséquence, = = =

et sont des angles alternes-internes
ils sont égaux donc //

de même, et sont des angles alternes-internes
ils sont égaux donc //

ainsi, a ses côtés opposés parallèles : c'est donc un parallélogramme CQFD.

– Soit un losange. Nommons-le . Il s'agit de montrer que a ses diagonales et perpendiculaires.

Considérons les 2 diagonales et du losange et nommons leur point d'intersection.

est un losange donc c'est un parallélogramme : ses diagonales se coupent en leurs milieux ; par exemple, est le milieu de .

est un losange donc, en particulier, est isocèle en C donc =

ainsi, les 2 triangles et ont 2 côtés égaux = , = et 2 angles égaux = ils sont
donc superposables (cas d'égalité des triangles).

Il en résulte, notamment, que =
donc est partagé en 2 angles égaux.
Or, donc =
donc = =
donc
ce qui montre que les diagonales de sont perpendiculaires CQFD.

Remarque : partage du losange en quatre

Au cours de la 2^e démonstration, à la place du triangle on aurait pu utiliser l'un des trois autres triangles , , isocèles respectivement en , en , en .

On obtient ainsi 4 triangles rectangles en superposables : , , , qui partagent le losange en 4 parts égales.

Cas particulier : les carrés

Un carré ayant ses côtés égaux est donc un losange : il en résulte qu'un carré est un parallélogramme et que ses diagonales sont perpendiculaires.

Les rectangles

Michel Suquet — 2018-04-23T15:43:10Z

Sommaire

Définition

Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.

Plus de précisions sont données dans le lexique.

Théorème

Tout rectangle est un parallélogramme
Tout rectangle a ses diagonales de la même longueur

Démonstration

– Soit un rectangle, nommons-le . Il s'agit de montrer que est un parallélogramme.

est un rectangle donc il a 4 angles droits :
On a donc et
donc //
De même, on a et
donc //
Ainsi, a ses côtés opposés parallèles donc est un parallélogramme CQFD.

– Soit un rectangle, nommons-le . Il s'agit de montrer que ses diagonales et ont la même longueur.

Considérons les 2 triangles et .
Ils ont un côté commun , deux autres côtés égaux = [1] et 2 angles égaux [2]
donc ces 2 triangles sont superposables (cas d'égalité des triangles).

Il en résulte, notamment, que = , ce qui montre que les 2 diagonales et ont la même longueur CQFD.

Cercle circonscrit au rectangle

étant un rectangle, c'est un parallélogramme et donc les diagonales et se coupent en leurs milieux, nommons ce milieu commun aux deux diagonales.

Or, les diagonales d'un rectangle sont de la même longueur donc, on a = = =

ce qui montre que le cercle de centre et qui passe par passe aussi par , par et par : ce cercle est circonscrit au rectangle.

Cas particulier : les carrés

Un carré est un rectangle car un carré a quatre angles droits : il en résulte qu'un carré est un parallélogramme et que ses diagonales ont la même longueur.

De plus, un carré est inscrit dans un cercle dont le centre est l'intersection de ses diagonales.

[1] Les cotés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur.

[2] Ils sont tous les deux des angles droits

Déterminer graphiquement une fonction affine

Michel Suquet — 2017-04-26T21:39:35Z

Sommaire

Une fonction affine est une fonction dont la forme algébrique s'écrit = et qui est donc déterminée par les deux nombres et .

Le nombre est le coefficient directeur et le nombre est l'ordonnée à l'origine. Ce vocabulaire est lié à la représentation graphique d'une fonction affine qui est une droite.

Ce que nous allons expliquer dans cet article, c'est comment déterminer graphiquement les deux nombres et qui interviennent dans l'expression algébrique.

Un 1er exemple

Pour que vous puissiez suivre plus facilement les explications, prenons la représentation graphique d'une première fonction :

Comme cette représentation graphique est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, la fonction est affine donc de la forme = d'après la définition des fonctions affines.

– Prenons =, on a donc = = =
donc la droite qui représente passe par le point de coordonnées .

Sur le graphique ci-dessus, on peut donc lire la valeur de (l'ordonnée à l'origine) en prenant l'intersection de la droite qui représente graphiquement et de l'axe des ordonnées : c'est pour cette raison que se nomme l'ordonnée à l'origine.

Dans cet exemple, on peut lire graphiquement que =.

– Prenons =, ce qui nous donne = =
Calculons la différence entre et :
= = =
Ainsi, la différence entre l'image de par et celle de par est le nombre .

Sur le graphique , cette différence se lit sur l'axe des ordonnées et donne la valeur du coefficient directeur : c'est la distance entre l'image de et celle de ; elle est positive si est au-dessus de et négative dans le cas contraire.

Pour cet exemple, nous avons donc, graphiquement, = .

En conclusion, la fonction est telle que = .

Un 2ème exemple

La lecture graphique de la différence comme dans l'exemple ci-dessus n'est pas toujours aussi aisée. Prenons la représentation graphique d'un 2ème fonction affine pour le comprendre et voir comment on contourne cette difficulté.

Sur ce graphique, on a encore = -1 (l'ordonnée à l'origine}) mais la différence n'est pas lisible avec précision :

Pour contourner cette difficulté, on va repérer 2 points de coordonnées entières sur la droite qui représente la fonction affine : par exemple, le point et le point qui sont sur la droite qui représente la fonction affine :

Considérons alors le chemin suivant pour aller de à :

Nous voyons que pour passer du point au point , on avance horizontalement de puis on monte de . Ce qui donne un triangle rectangle avec le segment de droite .

Or, nous voulions plutôt avancer horizontalement de pour monter de comme dans le 1er exemple.

Comparons ces 2 triangles, le triangle rouge et le triangle noir :

Le théorème de Thalès nous assure qu'ils ont des côtés proportionnels : =

donc =

Vérifions en calculant les images de et de par :
= = =
= = =
On retrouve les coordonnées des points et .

En conclusion, la fonction est telle que = .

Un 3ème exemple

Prenons un 3ème exemple avec une fonction dont la représentation graphique est la droite passant par les points et .

La représentation graphique de étant une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, est donc une fonction affine et donc de la forme = .

Graphiquement, on lit que = (l'ordonnée à l'origine) :

Puis, pour passer du point au point , on avance horizontalement de et on descend verticalement de (voir les flèches sur le graphique)
donc = =

Vérifions cela :
= = =
= = =
On retrouve bien les coordonnées des points et .

En conclusion, la fonction est telle que = .

Une formule générale

En fait, on a une méthode générale pour déterminer le coefficient directeur d'une fonction affine : c'est le quotient de la différence des ordonnées par la différence des abscisses correspondantes.

Théorème

Si est une fonction affine alors, pour tous les nombres et distincts, =

Preuve
Soit une fonction affine et prenons 2 nombres différents et .

étant affine, son expression algébrique est de la forme = d'après la définition des fonctions affines.

Avec les nombres et , on a : = et =

Calculons la différence :

= = = =

On a donc =

Or puisque et sont distincts, on peut donc diviser cette égalité par :

= CQFD

Utilisation
Prenons le 3ème exemple ci-dessus :

la représentation graphique de la fonction affine passe par les points et
donc = et = .

Utilisons la formule en prenant = et = : =

remplaçons et par leurs valeurs respectives et :

= = = =

On a donc = qui est bien la valeur que l'on avait obtenu graphiquement.

Les triangles semblables

Michel Suquet — 2017-02-16T16:54:07Z

Sommaire

Théorème

Si deux triangles sont semblables alors leurs côtés sont proportionnels.

Réciproquement, si deux triangles ont leurs côtés proportionnels alors ce sont deux triangles semblables.

Démonstration

– Considérons 2 triangles semblables en nommant le plus petit et le plus grand (s'ils sont égaux, le théorème est évident) de sorte que , et , comme sur la figure suivante.

Puisque [1] on peut déplacer (en le retournant si nécessaire) le triangle pour qu'il s'emboîte dans le triangle comme le montre la figure suivante :

Ainsi, les angles et sont des angles correspondants
or, ils sont égaux
donc les droites et sont parallèles.

Dans le triangle , est sur le côté , est sur le côté et
donc, d'après le théorème de Thalès, les deux triangles et ont leurs côtés proportionnels.CQFD

Plus précisément, on a :

– Réciproquement, soit deux triangles dont les côtés sont proportionnels ; nommons le plus petit et le plus grand (s'ils sont égaux, la réciproque du théorème est évidente) de sorte que :

Sur le côté du triangle [2] , plaçons le point tel que puis traçons la droite passant par G et parallèle à la droite : elle coupe en , comme sur la figure suivante :

Ainsi, on a des angles correspondants et d'une part, et d'autre part.
Or,
donc et
et comme est sur et est sur , on a aussi
ce qui montre que les triangles et sont semblables.

Par ailleurs, dans le triangle , est sur , est sur et
donc, d'après le théorème de Thalès,
or, donc (2)
reprenons les égalités ci-dessus :
par comparaison entre les égalités (1) et les égalités (2), ona : et
donc et , sans oublier que
ainsi, les triangles et sont égaux.

En résumé, on a montré que, d'une part et sont semblables, et d'autre part et sont égaux,
il en résulte que et sont semblables.CQFD

[1] on pourrait utiliser une des deux autres égalités des angles pour obtenir un raisonnement semblable, mutatis mutandis…

[2] on pourrait prendre un des deux autres côtés pour obtenir un raisonnement analogue, mutatis mutandis…

Angles et droites parallèles

Michel Suquet — 2016-04-07T17:13:17Z

Sommaire

Théorème

Si deux droites et une sécante déterminent des angles alternes-internes égaux alors ces deux droites sont parallèles.

Réciproquement, si deux droites sont parallèles et si une sécante détermine des angles alternes-internes avec ces deux droites alors ces angles alternes-internes sont égaux.

Remarque : on a le même théorème en remplaçant alternes-internes par correspondants.

Démonstration

– Considérons 2 droites et et une droite sécante qui coupe en et en et supposons que 2 angles alternes-internes sont égaux :

Soit le milieu de et traçons la droite qui est perpendiculaire à la droite et qui passe par : elle coupe en et en .

Les angles et sont opposés par le sommet M : ils sont donc égaux.

Ainsi, les triangles et sont tels que , et
donc, d'après le 2^e cas d'égalité, ils sont superposables
donc .

Or, est un angle droit donc aussi
donc les droites et sont perpendiculaires
donc et sont perpendiculaires à

donc et sont parallèles. CQFD

– Considérons 2 droites et et une droite sécante qui coupe en et en et supposons que les droites et sont parallèles :

Traçons la droite qui est perpendiculaire à la droite et qui passe par : elle coupe en
De même, traçons la droite qui est perpendiculaire à la droite et qui passe par : elle coupe en

Les droites et sont parallèles et la droite est perpendiculaire à
donc est perpendiculaire à aussi.
De même, est perpendiculaire à

Ainsi, le quadrilatère a 4 angles droits, c'est donc un rectangle et donc ses côtés opposés sont égaux : et

Considérons les triangles et : ils sont tels que , et
donc, d'après le 1^er cas d'égalité, ils sont superposables
donc

ce qui montre que les angles alternes-internes sont égaux. CQFD

– Si on a des angles correspondants, on peut facilement obtenir des angles alternes-internes et inversement. Pour le comprendre, regardons la figure suivante.

Les angles 1 et 2 sont correspondants et les angles 1 et 3 sont alternes-internes.

Or les angles 2 et 3 sont opposés par le sommet donc ils sont égaux.

En conséquence, si on a des angles correspondants 1 et 2 égaux, il en résulte qu'on a des angles alternes-internes 1 et 3 égaux ; et inversement. D'où la remarque.

Perpendiculaires et parallèles

Michel Suquet — 2016-03-23T18:04:45Z

Sommaire

Théorème 1

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors ces deux droites sont parallèles.

Théorème 2

Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l'une de ces deux droites alors cette troisième droite est perpendiculaire à l'autre.

Démonstration

– Considérons deux droites et et une troisième droite telle que et .

Supposons que et ne soient pas parallèles alors elles seraient sécantes en un point et on aurait 2 droites passant par et perpendiculaires à la droite .

Or, il n'y a qu'une seule droite qui soit perpendiculaire à le droite et qui passe par le point .

Ainsi, la supposition que nous avons faite n'est pas compatible avec cette propriété,
donc et sont parallèles. CQFD

– Considérons deux droites et parallèles et une troisième droite telle que . Soit l'intersection de avec et l'intersection de avec .

Considérons la droite qui passe par et qui est perpendiculaire à le droite .
Ainsi, on a et
donc

Ce qui montre que passe par en étant parallèle à
et on a aussi passe par en étant parallèle à

Or, il n'y a qu'une seule droite qui passe par en étant parallèle à (axiome d'Euclide)

donc et sont la même droite
donc est perpendiculaire à . CQFD

Bissectrice d'un angle et distance

Michel Suquet — 2016-02-22T08:23:30Z

Sommaire

Théorème

Tout point situé sur la bissectrice d'un angle est à égale distance de chaque côté de cet angle.
Réciproquement, tout point situé à égale distance des deux côtés d'un angle est sur la bissectrice de cet angle.

Démonstration

– Soit un angle de sommet et un point appartenant à la bissectrice de cet angle.
Considérons et les distances respectives de à chaque côté de cet angle : les angles et sont donc des angles droits d'après la définition de la distance d'un point à une droite.

On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à .
Ainsi, dans le triangle , on a : =
De même, dans le triangle , on a : =.
Or, = puisque ce sont 2 angles droits
et = puisque est sur la bissectrice de
On a donc
donc
Ce qui montre que les triangles et ont les mêmes angles.
Or, ces deux triangles ont un côté commun : ils sont donc supperposables et donc leurs côtés sont égaux et donc .
Ce qui montre que est à la même distance des deux côtés de l'angle considéré. CQFD

– Pour démontrer la réciproque de la propriété, considérons un angle de sommet et un point situé à la même distance de ses deux côtés.
En reprenant les mêmes notations que ci-dessus, on a et .

est un triangle rectangle en : on peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer en fonction de et :

De même, puisque est rectangle en , on a :

Or, donc
donc ce qui donne
Ainsi, les deux triangles et ont les mêmes côtés : ils sont donc superposables et donc ils ont les mêmes angles.
Ce qui montre que
donc est la bissectrice de l'angle
donc est sur la bissectrice de l'angle considéré. CQFD