Devoirs pour les 4^e

par Michel Suquet

Vous trouverez ci-dessous les devoirs pour les 4^e.

Évaluation des constructions

Lorsqu’ il s’agit de constructions géométriques, elles seront évaluées à partir de 3 critères :

Soin/Présentation : le travail doit être réalisé et présenté avec soin
Précision : la construction doit être précise
Réalisation : la construction doit être complète et l’auto-évaluation effectuée

Et pour chaque critère, un niveau à indiquer : D : débutant, A : apprenti, C : confirmé, E : expert.

Chaque construction sera réalisée sur une feuille blanche au format A4 (feuille pour imprimante 70g ou 80g).

Attention : les traits de construction ne doivent pas être effacés.

Évaluation des écrits

Lorsque le devoir n’est pas une construction géométrique, les critères d’évaluation seront les suivants :

Soin/Présentation : le travail doit être réalisé et présenté avec soin
Rédaction/Calculs : la solution doit être rédigée en présentant des explications et ses raisonnements, ainsi que les étapes des calculs incorporées dans ses explications
Utilisation de ses connaissances : résultats du cours de 4^e ou des années antérieures

Et pour chaque critère, un niveau à indiquer : D : débutant, A : apprenti, C : confirmé, E : expert.

Chaque devoir sera réalisé sur une feuille à carreaux grand format. La 1^re page comprendra le prénom, le nom et la classe ainsi qu’un espace de 7 cm réservé à l’évaluation.

devoir n°1

Ce devoir est à réaliser sur une feuille blanche (indiquez votre prénom, votre nom, votre classe et votre auto-évaluation).
L’évaluation portera sur la qualité des tracés : voir ci-dessus les détails concernant l’évaluation des constructions.

Construction :

Construire un triangle ODC tel queÂ : DC = 7 cm, OD = 6,5 cm et $\widehat{ODC}$ = 30°
Construire OBA qui est le symétrique de ODC par rapport à OÂ : A et B sont les symétriques respectifs [1] de C et D [2]. Tracer le parallélogramme ABCD.
Soit I, J, K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [AD]. Tracer le parallélogramme IJKL ainsi que ses diagonales.
Recommencer l’étape 3 avec les milieux des côtés de IJKL pour obtenir un 3^e parallélogramme [3]. Et poursuivez jusqu’à un 6^e parallélogramme [4].
Construire le symétrique de la figure obtenue par rapport à la droite (CD).

devoir n°2

Rédigez, sur une copie, votre démarche en détail pour présenter votre raisonnement. L’évaluation portera sur le soin, la présentation et la qualité des explications fournies : voir ci-dessus les détails concernant l’évaluation des écrits et la présentation de la copie. N’oubliez pas votre auto-évaluation.

Exercice :

Observer la figure ci-contre.

Calculer $\widehat{ABD}$.

devoir n°3

Construction :

Tracer un segment $[A_1C_1]$ tel que $A_1C_1$ = 2 cm.
De part et d’autre de $[A_1C_1]$, construire les triangles $A_1C_1B_1$ et $A_1C_1D_1$ isocèles respectivement en $B_1$ et $D_1$ tels que $A_1B_1 = A_1D_1$ = 3 cm. $A_1B_1C_1D_1$ est un losange.
Sur la demi-droite$ [A_1B_1)$, placer le point $B_2$ tel que $B_1B_2$Â =Â 2Â cm avec $B_1$ entre $A_1$ et $B_2$.
De même, sur les demi-droites $[B_1C_1)$, $[C_1D_1)$ et $[D_1A_1)$, placer les points $C_2$, $D_2$ et $A_2$ respectivement.
Tracer le parallélogramme $A_2B_2C_2D_2$.
Recommencer l’étape 3 sur la demi-droite $[A_2B_2)$ pour obtenir le point $B_3$, poursuivez avec les étapes 4 et 5 pour obtenir le parallélogramme $A_3B_3C_3D_3$.
Continuer ainsi jusqu’à obtenir le parallélogramme $A_6B_6C_6D_6$.

devoir n°4

Exercice :

Â ABCD est un parallélogramme et O est l’intersection de ses diagonales avec AB = 6 cm, AD = 4 cm et $\widehat{BAD}$ = 120°.
Tracer, sur votre copie, le parallélogramme ABCD.
Â Par A et C, tracer les perpendiculaires à (BD)Â : elles coupent (BD) en L et J respectivement. De même, par B et D, tracer les perpendiculaires à (AC)Â : elles coupent (AC) en K et I respectivement.
Â Pourquoi les angles $\widehat{LOA}$ et $\widehat{JOC}$ sont-ils égauxÂ ?
Pourquoi OA = OCÂ ?
Démontrer que (AL) et (JC) sont parallèlesÂ ; que peut-on en déduire pour les angles $\widehat{OAL}$ et $\widehat{OCJ}$Â ?
Démontrer que les triangles OAL et OJC sont égaux puis en déduire que O est le milieu de [LJ].
Â Reprenez ce qui précède avec les triangles ODI et OBK pour démontrer que O est le milieu de [IK].
Â En utilisant les résultats précédents, démontrer que IJKL est un parallélogramme.

Revoir le cours de 5^e sur les parallélogrammes.

devoir n°5

Énigme des 2 carrés
Comment construire un carré dont l’aire est le double de celle d’un carré de côté 5 cm ?

devoir n°6

Construction :

La feuille étant en position portrait, tracer une droite d verticale à peu près centréeÂ : elle servira de support de la base de tous les triangles tracés avec B, C, D, F, H, J, L, N et R sur la droite d.
Â Construire les 8 triangles suivantsÂ :
ABC tel que BC = 57 mm, $\widehat{ABC}$ = 20° et $\widehat{BCA}$ = 30°
EDC tel que DC = 70 mm, $\widehat{EDC}$ = 20° et $\widehat{DCE}$ = 40°
GFC tel que FC = 85 mm, $\widehat{GFC}$ = 20° et $\widehat{FCG}$ = 50°
IHC tel que HC = 105 mm, $\widehat{IHC}$ = 20° et $\widehat{HCI}$ = 60°
KJC tel que JC = 130 mm, $\widehat{KJC}$ = 20° et $\widehat{JCK}$ = 70°
MLC tel que LC = 160 mm, $\widehat{MLC}$ = 20° et $\widehat{LCM}$ = 80°
ONC tel que NC = 195 mm, $\widehat{ONC}$ = 20° et $\widehat{NCO}$ = 90°
SRC tel que RC = 235 mm, $\widehat{SRC}$ = 20° et $\widehat{RCS}$ = 100°
Construire le symétrique de cette figure par rapport à la droite d.
Tracer la ligne brisée [AEGIKMOS] et la ligne brisée symétrique par rapport à d. Tracer [AA’].

devoir n°7

Exercice :

Tracer un carré $ABCD$ de côté 5 cm. Placer un point $E$ sur $[AB]$ tel que $AE$ = 2 cm et un point $F$ sur $[BC]$ de sorte que $BF$ = 2 cm. Tracer $[DE]$ et $[AF]$ puis nommer $G$ leur intersection.
Démontrer que les triangles $AED$ et $ABF$ sont égaux.
En déduire que $DE$ = $AF$, $\widehat{ADE}$ = $\widehat{BAF}$ et $\widehat{AED}$ = $\widehat{BFA}$.
Démontrer que $\widehat{AED}$ et $\widehat{ADE}$ sont complémentaires.
En utilisant le triangle $AEG$ et les résultats précédents, démontrer que $[DE]$ et $[AF]$ sont perpendiculaires.

devoir n°8

Exercice :
La Terre tourne sur elle-même autour de son axe Nord-Sud en un jour. En conséquence, une personne qui est sur l’Équateur parcourt une distance $d$ en un jour. On prendra 6 400 km comme valeur approchée du rayon de la Terre.

Donnez une estimation de la valeur de cette distance $d$. Justifiez.
En déduire une estimation de la vitesse avec laquelle cette personne est entraînée.
Donnez cette vitesse en km/h puis en m/s.

devoir n°9

Exercice :

Tracer un cercle de centre $A$ et de rayon 4 cmÂ ? Tracer un diamètre $[BC]$ de ce cercle et placer un point $D$ sur ce cercle de sorte que $\widehat{BAD}$ = 30°. Tracer les triangles $ABD$ et $BDC$.
Calculez $\widehat{DAC}$
Que peut-on dire des triangles $ABD$ et $DAC$ Â ? Justifiez.
En déduire les valeurs de $\widehat{ADB}$ et $\widehat{ADC}$.
En déduire la valeur de $\widehat{BDC}$ et la nature du triangle $BDC$.

devoir n°10

Exercice :
Un commerçant propose d’installer des bassins aquatiques de formes carrées dont les bords sont entourés d’une double rangée de carreaux avec $n$ carreaux par côté du bassin. Les carreaux ont aussi une forme carrée.

Voici un schéma pour $n$ = 3Â :

À l’aide de schémas similaires, déterminer le nombre de carreaux nécessaires pour $n$ = 1.
Même traÂvail pour $n$ = 2 et pour $n$ = 3.
Quelle est la formule exprimant le nombre de carreaux nécessaires en fonction de $n$Â ?
Justifier votre réponse.
Pour un bassin aquatique de côté 1,4 m et avec des carreaux de côté 20 cm, combien faut-il prévoir de carreauxÂ ?

devoir n°11

Exercice :

Dans un repère, placer les points $A(8\, ;1)$, $B(6\, ;3)$ et $C(2\, ;âˆ’1)$.
Placer le point $D(2\, ;3)$ et calculer $BC$.
De même, placer $E(8\, ;3)$ et $F(8\, ;âˆ’1)$ puis calculer $AB$ et $AC$.
Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
Calculer l’aire du rectangle $CDEF$.
Calculer les aires des triangles $CDB$, $BEA$ et $AFC$.
En déduire l’aire du triangle $ABC$.
Soit $G$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$Â ;
sans justification, donner les coordonnées du point $G$ et tracer ce cercle.

devoir n°12

Exercice :

Représenter en perspective un cube dont la face du dessous est nommée $ABCD$ et celle du dessus est nommée $EFGH$.
Repérer le point $S$ qui est l’intersection des diagonales de $EFGH$ et les milieux $I$, $J$, $K$ et $L$ des arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$ respectivement. Enfin, repérer le point $M$ qui est l’intersection des diagonales de $IJKL$.
Quelle est la nature et les éléments du solide $SIJKL$ ?
On sait , pour cette question et les suivantes, que $AB$ = $6$ cm.
Tracer en vraie grandeur la face $ABCD$ et placer les points $I$, $J$, $K$, $L$ et $M$. Calculer l’aire de $IJKL$.
Calculer le volume de $SIJKL$.
Calculer $IJ$ et $IS$.

devoir n°13

Exercice :

Soit un cercle de centre $O$ et de rayon 5 cm. On considère huit points répartis régulièrement sur ce cercle pour obtenir l’octogone régulier $ABCDEFGH$.
Calculer $\widehat{AOB}$.
Tracer le cercle et le polygone régulier $ABCDEFGH$.
$B$ est l’image de $A$ par une rotationÂ : donner les éléments d’une telle rotation.
Quelle est l’image de $F$ par cette rotationÂ ?
Quelle est la nature du triangle $AOB$Â ?
Calculer $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OBA}$.
En déduire $\widehat{ABC}$.
$D$ est l’image de $A$ par une rotationÂ : donner les éléments d’une telle rotation.
Quelle est l’image de $F$ par cette rotationÂ ?
Tracer l’octogone étoilé $ADGBEHCF$.

devoir n°14

Exercice 1
Écrire les 3 lois de Kolmogorov.

Exercice 2
Les 6 faces d’un dé comportent chacune des lettres du mot $CALCUL$. On lance au hasard le dé et on regarde la face du dessus.

Â Pour cette expérience aléatoire, donner un exemple d’événement de chaque natureÂ : élémentaire, non élémentaire, certain et impossible.
Â Quel est l’événement contraire de l’événement Â« Â obtenir la lettre $L$Â Â »Â ?

Exercice 3
Un jeu consiste à tirer une boule dans un sac (le sac contient 4 boules rouges, 2 boules vertes et 6 boules bleues). Les boules sont indiscernables au toucher.

Â Quel modèle peut-on utiliserÂ ? Justifier.
Â Combien d’issues réalisent l’événement Â« Â tirer une boule rouge ou une boule verteÂ Â »Â ? Quelle est la probabilité de cet événementÂ ? Justifier votre réponse.

devoir n°15

Exercice 1
Écrire les 3 lois de Kolmogorov.

Exercice 2
Un dé parfait comporte 6 faces numérotées de $1$ à $6$. On lance au hasard ce dé et on observe la face du dessus obtenue.

Â Quelle est la probabilité d’obtenir la face $2$Â ? Justifier votre réponse.
Â Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre multiple de 3Â ? Justifier votre réponse.

Exercice 3
Un sac ne contient que des jetons rouges, des jetons bleues et des jetons vertes. On tire au hasard un jeton.
Sachant que la probabilité de tirer un jeton rouge est égale à $\frac{1}{4}$ et que la probabilité de tirer un jeton bleu est égale à $\frac{2}{3}$, en déduire la probabilité de tirer un jeton vert. Justifier votre réponse.