Les nombres ne sont pas séparés des formes et des liens entre ces deux domaines importants des mathématiques aides à mieux les comprendre.

Les nombres figurés

Avec un nombre entier de jetons identiques (dans l’antiquité on prenait souvent des cailloux [1]), on peut s’amuser à leur donner des formes : triangles, rectangles, …

Avec le nombre 6, on peut constituer un rectangle comme cela :

C’est un rectangle de côtés 2 et 3 : $6 = 2 \times 3$

On a d’autres solutions si l’on reste avec la forme du rectangle :

qui est le même rectangle mais dans un autre sens et qui illustre la propriété $3 \times 2 = 2 \times 3$

ou bien

qui est un rectangle de côtés 1 et 6 : $6 = 1 \times 6$

Par contre, vous ne pourrez pas constituer un carré avec le nombre 6 : 6 n’est pas un carré. Essayez si vous n’êtes pas convaincu…

Est-ce un triangle ?

Essayons de disposer les 6 jetons en triangle :

Ce qui montre que 6 est un nombre triangulaire : $6 = 1+2+3$

Dès l’antiquité, les mathématiciens ont cherché à savoir quels étaient les nombres triangulaires, les nombres rectangulaires et parmi eux les carrés, les nombres pentagonaux, hexagonaux et ainsi de suite.

Les nombres pairs et les nombres impairs

Les nombres pairs sont ceux que l’on peut mettre en rectangles de côté 2. Vous les connaissez bien : 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Les nombres impairs sont les nombres qui ne sont pas pairs : 1, 3, 5, 7, 9, … Essayez de les mettre en rectangles de côté 2, vous n’y arriverez pas ; vous aurez toujours un jeton en trop, ou bien il vous manquera toujours un jeton ;-)

Les nombres triangulaires

Voici les premiers nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, 21, … Saurez-vous les obtenir avec des jetons et trouver les suivants ?

Voyez-vous comment on passe de l’un à l’autre ?

Les nombres carrés

Parmi les nombres rectangulaires, il y a les carrés : 1, 4, 9, 16, … Ce sont les rectangulaires qui ont le même nombre de jetons sur les côtés.

Voyez-vous comment on passe de l’un à l’autre ?

Plus difficile : voyez-vous le lien entre les nombres carrés et les nombres triangulaires ?

Les nombres premiers

Tous les nombres sont rectangulaires mais il y a ceux qui ne peuvent former qu’un rectangle de côté 1, sans être carré : ce sont les nombres premiers.

Voici les premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

Les nombres qui ne sont pas premiers sont des nombres composés. Par exemple 15 qui peut former un rectangle de côtés 3 et 5.

15 est composé des nombres premiers 3 et 5. Ce qui s’écrit $15 = 3 \times 5$.

Les nombres pentagonaux

Voici les premiers nombres pentagonaux : 1, 5, 12, 22, …