Carrés et racines carrées
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Calculer le carré d’un nombre est relativement simple : il suffit de multiplier le nombre par lui-même.
Par exemple, le carré de $3$ est $9$ puisque $3 \times 3 = 9$
et le carré de $ 5,7$ est $32,49$ puisque $5,7 \times 5,7 = 32,49$.
La table des carrés
Comme pour une table de multiplication, il existe une table des carrés que je vous conseille d’apprendre par cœur :
nombre | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ | $13$ | $14$ | $15$ |
carré du nombre | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$ | $25$ | $36$ | $49$ | $64$ | $81$ | $100$ | $121$ | $144$ | $169$ | $196$ | $225$ |
Lien avec la géométrie
En fait, quand on multiplie un nombre par lui-même, si ce nombre mesure le côté d’un carré, on obtient l’aire du carré : c’est pour cette raison que nos ancêtres ont appelé carré le résultat du produit d’un nombre par lui-même.
On note aussi le carré de $3$ avec un $2$ en exposant après le $3$ ; comme ceci : $3^2$ [1].
Si on appelle $n$ un nombre, son carré est noté $n^2$, ce qui se lit "$n$ au carré" ou parfois "$n$ carré". On retrouve cela dans les unités d’aires avec $cm^2$ qui est obtenu en multipliant $cm$ par $cm$.
Par exemple, $3 \, cm \times 4 \, cm = 3 \times 4 \, cm \times cm = 12 \, cm^2$.
La racine carrée
Si calculer le carré d’un nombre est simple, dans l’autre sens, lorsque l’on cherche le nombre dont le carré est connu, cela peut-être plus ou moins compliqué.
Pour cette recherche, on utilise la table des carrés inversée :
nombre | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$ | $25$ | $36$ | $49$ | $64$ | $81$ | $100$ | $121$ | $144$ |
racine carrée du nombre [2] | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ |
Par exemple, $3$ est le nombre dont le carré est $9$ : un coup d’œil dans la table des racines carrées donne rapidement ce résultat.
On dit que $3$ est la racine carrée de $9$.
Autre exemple, pour le nombre dont le carré est $17$, on ne voit pas $17$ dans la liste des carrés de la table
cependant, on voit que $16 < 17 < 25$
et comme $16$ est le carré de $4$ et $25$ est celui de $5$
il en résulte que le nombre cherché est compris entre $4$ et $5$
donc la racine carrée de $17$ est comprise entre $4$ et $5$.
Est-ce $4,5$ ?
Vérifions : $4,5 \times 4,5 = 20,25$
c’est trop grand donc la racine carrée de $17$ est comprise entre $4$ et $4,5$.
Si on "creuse" un peu plus, pour en savoir davantage sur cette racine, on peut vérifier que la racine carrée de $17$ est comprise entre $4,1$ et $4,2$ puisque $4,1^2 = 16,4$ et que $4,2^2 = 17,64$.
Vous comprenez maintenant pourquoi nos ancêtres ont appelé ce nombre la racine carrée : cela évoque quelque chose qui est caché, comme un trésor…
La racine carrée de $17$ est d’ailleurs bien cachée car qu’il n’y a pas de nombre décimal égal à la racine carrée de $17$ [3] et c’est pourquoi nos ancêtres [4] ont inventé un signe spécial pour écrire symboliquement ce nombre : $\displaystyle\sqrt{17}$ qui se lit "racine carrée de $17$" ; le signe $\sqrt{\phantom{t}}$ est appelé le radical.
Cette notation permet de compléter la table des racines carrées :
nombre | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
racine carrée du nombre | $0$ | $1$ | $\displaystyle\sqrt{2}$ | $\displaystyle\sqrt{3}$ | $2$ | $\displaystyle\sqrt{5}$ | $\displaystyle\sqrt{6}$ | $\displaystyle\sqrt{7}$ | $\displaystyle\sqrt{8}$ | $3$ | $\displaystyle\sqrt{10}$ |
On peut remarquer que $\displaystyle\sqrt{0} = 0$, $\displaystyle\sqrt{1} = 1$, $\displaystyle\sqrt{4} = 2$, $\displaystyle\sqrt{9} = $3, $\displaystyle\sqrt{16} = 4$, …
Un schéma géométrique
Retenez que la racine carrée correspond au côté du carré et le carré à l’aire du carré. Ce qui se traduit par le schéma suivant :
Utiliser la calculatrice
La calculatrice a une touche particulière pour obtenir rapidement la racine carrée d’un nombre : $\displaystyle\sqrt{\blacksquare}$
Pour actionner cette touche, il faut d’abord appuyer sur la touche SECONDE.
puis avec 17…
On obtient $\sqrt{17} \approx 4{,}123105626$
Ce qui donne $4,12$ comme valeur approchée au centième de $\displaystyle\sqrt{17}$.