Carrés et racines carrées

Sommaire

La table des carrés
Lien avec la géométrie
La racine carrée
Un schéma géométrique
Utiliser la calculatrice

Calculer le carré d’un nombre est relativement simple : il suffit de multiplier le nombre par lui-même.

Par exemple, le carré de est puisque $3 \times 3 = 9$
et le carré de $5,7$ est $32,49$ puisque $5,7 \times 5,7 = 32,49$ .

La table des carrés

Comme pour une table de multiplication, il existe une table des carrés que je vous conseille d’apprendre par cœur :

nombre	$0$												$12$
carré du nombre	$0$						$36$	$49$		$81$		$121$	$144$	$169$	$196$	$225$

Lien avec la géométrie

En fait, quand on multiplie un nombre par lui-même, si ce nombre mesure le côté d’un carré, on obtient l’aire du carré : c’est pour cette raison que nos ancêtres ont appelé carré le résultat du produit d’un nombre par lui-même.

On note aussi le carré de avec un en exposant après le ; comme ceci : $3^2$ [1].

Si on appelle un nombre, son carré est noté , ce qui se lit " au carré" ou parfois " carré". On retrouve cela dans les unités d’aires avec qui est obtenu en multipliant par .

Par exemple, $3 \, cm \times 4 \, cm = 3 \times 4 \, cm \times cm = 12 \, cm^2$ .

La racine carrée

Si calculer le carré d’un nombre est simple, dans l’autre sens, lorsque l’on cherche le nombre dont le carré est connu, cela peut-être plus ou moins compliqué.

Pour cette recherche, on utilise la table des carrés inversée :

nombre	$0$						$36$	$49$		$81$		$121$	$144$
racine carrée du nombre [2]	$0$												$12$

Par exemple, est le nombre dont le carré est : un coup d’œil dans la table des racines carrées donne rapidement ce résultat.

On dit que est la racine carrée de .

Autre exemple, pour le nombre dont le carré est , on ne voit pas dans la liste des carrés de la table
cependant, on voit que $16 < 17 < 25$
et comme est le carré de et est celui de
il en résulte que le nombre cherché est compris entre et
donc la racine carrée de est comprise entre et .

Est-ce $4,5$ ?

Vérifions : $4,5 \times 4,5 = 20,25$
c’est trop grand donc la racine carrée de est comprise entre et $4,5$ .

Si on "creuse" un peu plus, pour en savoir davantage sur cette racine, on peut vérifier que la racine carrée de est comprise entre $4,1$ et $4,2$ puisque $4,1^2 = 16,4$ et que $4,2^2 = 17,64$ .

Vous comprenez maintenant pourquoi nos ancêtres ont appelé ce nombre la racine carrée : cela évoque quelque chose qui est caché, comme un trésor…

La racine carrée de est d’ailleurs bien cachée car qu’il n’y a pas de nombre décimal égal à la racine carrée de [3] et c’est pourquoi nos ancêtres [4] ont inventé un signe spécial pour écrire symboliquement ce nombre : $\displaystyle\sqrt{17}$ qui se lit "racine carrée de " ; le signe $\sqrt{\phantom{t}}$ est appelé le radical.

Cette notation permet de compléter la table des racines carrées :

nombre	$0$
racine carrée du nombre	$0$		$\displaystyle\sqrt{2}$	$\displaystyle\sqrt{3}$		$\displaystyle\sqrt{5}$	$\displaystyle\sqrt{6}$	$\displaystyle\sqrt{7}$	$\displaystyle\sqrt{8}$		$\displaystyle\sqrt{10}$

On peut remarquer que $\displaystyle\sqrt{0} = 0$ , $\displaystyle\sqrt{1} = 1$ , $\displaystyle\sqrt{4} = 2$ , $\displaystyle\sqrt{9} =$ 3, $\displaystyle\sqrt{16} = 4$ , …