Ah, les fameux tableaux de proportionnalité !

Une table de multiplication

Et oui, un tableau de proportionnalité est une table de multiplication mais le nombre qui multiplie n’est pas forcément un entier.

Par exemple, la table de multiplication par $1,2$ :

Tableau 1

nombre	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$…$
$1,2$ à— nombre	$0$	$1,2$	$2,4$	$3,6$	$4,8$	$6$	$7,2$	$8,4$	$9,6$	$10,8$	$12$	$13,2$	$14,4$	$…$

mais, en plus, on n’est pas obligé de mettre des nombres entiers dans la première ligne du tableau, ni dans l’ordre :

Tableau 2

nombre	$4$	$5,6$	$15$	$0,5$
$1,2$ à— nombre	$4,8$	$6,72$	$18$	$0,6$

Et, enfin, on n’est pas obligé de mettre des légendes comme dans les tableaux ci-dessus, bien que ce soit très pratique, surtout lorsque ce tableau traduit les informations d’un énoncé ; d’ailleurs, dans ce cas-là , c’est fortement recommandé…

Ainsi, on peut imaginer qu’un commerçant propose des tomates à $1,2$ €/kg :
le tableau 1 donne alors les prix à payer pour des nombres entiers de kg.

masse (en kg)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$…$
prix (en €)	$0$	$1,2$	$2,4$	$3,6$	$4,8$	$6$	$…$

Deux grands problèmes

Avec les tableaux de proportionnalité, il y a deux problèmes qui reviennent souvent.

* 1er problème : savoir si un tableau donné est un tableau de proportionnalité.

* 2ème problème : compléter un tableau de proportionnalité.

Dans la suite, nous allons voir plusieurs méthodes plus ou moins faciles à mettre en œuvre : cela dépend des nombres qui interviennent dans le tableau.

Multiplier une colonne par un nombre

Si on observe le tableau 1, on peut remarquer qu’en multipliant la colonne correspondant à $3$ par le nombre $4$, on obtient la colonne correspondant à $12$.

En effet, $3à—4=12$ et $3,6à—4=14,4$

Cette propriété est générale pour les tableaux de proportionnalité.

Exemple : compléter le tableau de proportionnalité suivant

$2$	$8$	$b$
$5$	$a$	$25$

Le tableau étant de proportionnalité, en multipliant la 1ère colonne par $4$,
on obtient la 2ème colonne puisque $2à—4 = 8$, donc $a = 5à—4 = 20$.

De même, la 3ème colonne est obtenue en multipliant la 1ère colonne par $5$ puisque $5à—5 = 25$, donc $b = 2à—5 = 10$.

On peut d’ailleurs remarquer que ce tableau de proportionnalité est la table de $2,5$.

Additionner 2 colonnes

Si on observe le tableau 1 ci-dessus, on peut remarquer qu’en additionnant les colonnes correspondant à $2$ et à $5$, on obtient la colonne qui correspond à $7$.

En effet, $2+5=7$ et $2,4+6=8,4$.

Cette propriété est générale pour les tableaux de proportionnalité et permet de compléter un tableau de proportionnalité.

Exemple : compléter le tableau de proportionnalité suivant

$2$	$6$	$8$
$7$	$a$	$b$

Le tableau étant de proportionnalité, en multipliant la 1ère colonne par $3$, on obtient la 2ème colonne car $2à—3 = 6$, ce qui donne $a = 7à—3 = 21$.

Par ailleurs que la 3ème colonne est la somme des deux premières puisque $8 = 2+6$, donc $b = 7+21 = 28$.

On peut remarquer que ce tableau de proportionnalité est la table de $3,5$.

Traduire un tableau par des fractions

Observons le tableau 2 : en divisant le nombre de la 1ère ligne par le nombre de la 2ème ligne, on obtient une fraction. On peut alors remarquer que toutes les fractions obtenues sont égales.

En effet, on a les fractions $\displaystyle\frac{4}{4,8}$, $\displaystyle\frac{5,6}{6,72}$, $\displaystyle\frac{15}{18}$ et $\displaystyle\frac{0,5}{0,6}$.

En simplifiant ces fractions, on a :

$\displaystyle\frac{4}{4,8}= \frac{40}{48} = \frac{4 \times 10}{4 \times 12} = \frac{10}{12}$

$\displaystyle\frac{5,6}{6,72} = \frac{560}{672} = \frac{56 \times 10}{56 \times 12} = \frac{10}{12}$

$\displaystyle\frac{15}{18} = \frac{3 \times 5}{3 \times 6} = \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$

$\displaystyle\frac{0,5}{0,6} = \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$

Toutes les fractions étant égales à $\displaystyle\frac{10}{12}$, cela montre que $\displaystyle\frac{4}{4,8} = \frac{5,6}{6,72} = \frac{15}{18} = \frac{0,5}{0,6}$.

Cette propriété de l’égalité des fractions est caractéristique d’un tableau de proportionnalité.

Exemple : le tableau suivant est-il de proportionnalité ?

$12$	$14$	$1,5$
$30$	$35$	$3,75$

On simplifie les fractions :

$\displaystyle\frac{12}{30} = \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{2}{5}$

$\displaystyle\frac{14}{35} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{2}{5}$

$\displaystyle\frac{1,5}{3,75} = \frac{150}{375} = \frac{2 \times 75}{5 \times 75} = \frac{2}{5}$

Les 3 fractions étant égales à $\displaystyle\frac{2}{5}$ , elles sont donc égales et on a un tableau de proportionnalité.

Le produit en croix

En reprenant les calculs ci-dessus qui concernent le tableau 2, pour montrer que les deux fractions $\displaystyle\frac{4}{4,8}$ et $\displaystyle\frac{5,6}{6,72}$ sont égales, plutôt que de les simplifier, on peut les mettre au même dénominateur.

Un dénominateur commun peut être obtenu par le produit des dénominateurs : $4,8à—6,72$ de sorte que :

$\displaystyle\frac{4}{4,8} = \frac{4 \times 6,72}{4,8 \times 6,72}$ et $\displaystyle\frac{5,6}{6,72} = \frac{5,6 \times 4,8}{6,72 \times 4,8}$

Ce qui montre que pour obtenir l’égalité des fractions, il est nécessaire de vérifier que les produits $4à—6,72$ et $5,6à—4,8$ sont égaux ; c’est ce qu’on appelle la méthode du produit en croix.

Exemple 1 : le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?

$12$	$14$	$1,5$
$30$	$35$	$3,75$

On calcule : $12à—35 = 420$ et $14à—30 = 420$ donc $12à—35 = 14à—30$

puis, $14à—3,75 = 52,5$ et $1,5à—35 = 52,5$ donc $14à—3,75 = 1,5à—35$.

Ces deux égalités montrent qu’on a un tableau de proportionnalité.

Exemple 2 : compléter le tableau de proportionnalité suivant.

$4$	$2,8$	$b$
$3$	$a$	$2$

Le tableau est de proportionnalité donc :

$a$ = $\displaystyle\frac{3 \times 2,8}{4} = \frac{8,4}{4} = 2,1$

On a aussi :

$b$ = $\displaystyle\frac{4 \times 2}{3} = \frac{8}{3}$

Remarque : on laisse $b$ sous cette forme $\displaystyle\frac{8}{3}$ car $8$ n’est pas dans la table de $3$.