Théorème

Si deux droites et une sécante déterminent des angles alternes-internes égaux alors ces deux droites sont parallèles.
 
Réciproquement, si deux droites sont parallèles et si une sécante détermine des angles alternes-internes avec ces deux droites alors ces angles alternes-internes sont égaux.

Remarque : on a le même théorème en remplaçant alternes-internes par correspondants.

Démonstration

– Considérons 2 droites et et une droite sécante qui coupe en et en et supposons que 2 angles alternes-internes sont égaux :

Soit le milieu de et traçons la droite qui est perpendiculaire à la droite et qui passe par  : elle coupe en et en .

Les angles et sont opposés par le sommet M : ils sont donc égaux.

Ainsi, les triangles et sont tels que , et
donc, d’après le 2^e cas d’égalité, ils sont superposables
donc .

Or, est un angle droit donc aussi
donc les droites et sont perpendiculaires
donc et sont perpendiculaires à 

donc et sont parallèles. CQFD

– Considérons 2 droites et et une droite sécante qui coupe en et en et supposons que les droites et sont parallèles :

Traçons la droite qui est perpendiculaire à la droite et qui passe par  : elle coupe en
De même, traçons la droite qui est perpendiculaire à la droite et qui passe par  : elle coupe en

Les droites et sont parallèles et la droite est perpendiculaire à 
donc est perpendiculaire à  aussi.
De même, est perpendiculaire à 

Ainsi, le quadrilatère a 4 angles droits, c’est donc un rectangle et donc ses côtés opposés sont égaux : et

Considérons les triangles et  : ils sont tels que , et
donc, d’après le 1^er cas d’égalité, ils sont superposables
donc

ce qui montre que les angles alternes-internes sont égaux. CQFD

– Si on a des angles correspondants, on peut facilement obtenir des angles alternes-internes et inversement. Pour le comprendre, regardons la figure suivante.

Les angles 1 et 2 sont correspondants et les angles 1 et 3 sont alternes-internes.

Or les angles 2 et 3 sont opposés par le sommet donc ils sont égaux.

En conséquence, si on a des angles correspondants 1 et 2 égaux, il en résulte qu’on a des angles alternes-internes 1 et 3 égaux ; et inversement. D’où la remarque.