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Les losanges

Publication : par Michel Suquet

Définition

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Plus de précisions sont données dans le lexique.

 

Théorème

  • Tout losange est un parallélogramme.
  • Tout losange a ses diagonales perpendiculaires.

 

Démonstration

 Soit un losange. Nommons-le ABCD. Il s’agit de montrer que ABCD est un parallélogramme.

Considérons la diagonale [BD] : on a 2 triangles, ABD isocèle en A (donc \widehat{ABD} = \widehat{ADB}) et BDC isocèle en C (donc \widehat{CBD} = \widehat{CDB}), qui ont leurs trois côtés égaux 2 à 2, ils sont donc superposables (cas d’égalité des triangles) et,en conséquence, \widehat{ABD} = \widehat{CDB} = \widehat{CBD} = \widehat{BDA}

\widehat{ABD} et \widehat{CDB} sont des angles alternes-internes
ils sont égaux donc (AB) // (CD)

de même, \widehat{ADB} et \widehat{CBD} sont des angles alternes-internes
ils sont égaux donc (AD) // (CB)

ainsi, ABCD a ses côtés opposés parallèles : c’est donc un parallélogramme CQFD.

 

 Soit un losange. Nommons-le ABCD. Il s’agit de montrer que ABCD a ses diagonales [AC] et [BD] perpendiculaires.

Considérons les 2 diagonales [AC] et [BD] du losange ABCD et nommons O leur point d’intersection.

ABCD est un losange donc c’est un parallélogramme : ses diagonales se coupent en leurs milieux ; par exemple, O est le milieu de [BD].

ABCD est un losange donc, en particulier, DCB est isocèle en C donc \widehat{OBC} = \widehat{ODC}

ainsi, les 2 triangles OBC et ODC ont 2 côtés égaux BC = DC, OB = OD et 2 angles égaux \widehat{OBC} = \widehat{ODC} ils sont
donc superposables (cas d’égalité des triangles).

Il en résulte, notamment, que \widehat{DOC} = \widehat{BOC}
donc \widehat{BOD} est partagé en 2 angles égaux.
Or, O \in [BD] donc \widehat{BOD} = 180°
donc \widehat{DOC} = \widehat{BOC} = 90°
donc (AC) \perp (BD)
ce qui montre que les diagonales de ABCD sont perpendiculaires CQFD.

 

Remarque : partage du losange en quatre

Au cours de la 2e démonstration, à la place du triangle DCB on aurait pu utiliser l’un des trois autres triangles CBA, BAD, ADC isocèles respectivement en B, en A, en D.

On obtient ainsi 4 triangles rectangles en O superposables : DOC, COB, BOA, AOD qui partagent le losange ABCD en 4 parts égales.

 

Cas particulier : les carrés

Un carré ayant ses côtés égaux est donc un losange : il en résulte qu’un carré est un parallélogramme et que ses diagonales sont perpendiculaires.