
Les losanges
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Définition
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.
Plus de précisions sont données dans le lexique.
Théorème
- Tout losange est un parallélogramme.
- Tout losange a ses diagonales perpendiculaires.
Démonstration
– Soit un losange. Nommons-le . Il s’agit de montrer que
est un parallélogramme.

Considérons la diagonale [BD] : on a 2 triangles, ABD isocèle en A (donc =
) et BDC isocèle en C (donc
=
), qui ont leurs trois côtés égaux 2 à 2, ils sont donc superposables (cas d’égalité des triangles) et,en conséquence,
=
=
=
et
sont des angles alternes-internes
ils sont égaux donc //
de même, et
sont des angles alternes-internes
ils sont égaux donc //
ainsi, a ses côtés opposés parallèles : c’est donc un parallélogramme CQFD.
– Soit un losange. Nommons-le . Il s’agit de montrer que
a ses diagonales
et
perpendiculaires.
Considérons les 2 diagonales et
du losange
et nommons
leur point d’intersection.

est un losange donc c’est un parallélogramme : ses diagonales se coupent en leurs milieux ; par exemple,
est le milieu de
.
est un losange donc, en particulier,
est isocèle en C donc
=

ainsi, les 2 triangles et
ont 2 côtés égaux
=
,
=
et 2 angles égaux
=
ils sont
donc superposables (cas d’égalité des triangles).
Il en résulte, notamment, que =
donc est partagé en 2 angles égaux.
Or, donc
=
donc =
=
donc
ce qui montre que les diagonales de sont perpendiculaires CQFD.
Remarque : partage du losange en quatre
Au cours de la 2e démonstration, à la place du triangle on aurait pu utiliser l’un des trois autres triangles
,
,
isocèles respectivement en
, en
, en
.
On obtient ainsi 4 triangles rectangles en superposables :
,
,
,
qui partagent le losange
en 4 parts égales.
Cas particulier : les carrés
Un carré ayant ses côtés égaux est donc un losange : il en résulte qu’un carré est un parallélogramme et que ses diagonales sont perpendiculaires.