Définition

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Plus de précisions sont données dans le lexique.

Théorème

• Tout losange est un parallélogramme.

• Tout losange a ses diagonales perpendiculaires.

Démonstration

– Soit un losange. Nommons-le . Il s’agit de montrer que est un parallélogramme.

Considérons la diagonale [BD] : on a 2 triangles, ABD isocèle en A (donc = ) et BDC isocèle en C (donc = ), qui ont leurs trois côtés égaux 2 à 2, ils sont donc superposables (cas d’égalité des triangles) et,en conséquence, = = =

et sont des angles alternes-internes
ils sont égaux donc //

de même, et sont des angles alternes-internes
ils sont égaux donc //

ainsi, a ses côtés opposés parallèles : c’est donc un parallélogramme CQFD.

– Soit un losange. Nommons-le . Il s’agit de montrer que a ses diagonales et perpendiculaires.

Considérons les 2 diagonales et du losange et nommons leur point d’intersection.

est un losange donc c’est un parallélogramme : ses diagonales se coupent en leurs milieux ; par exemple, est le milieu de .

est un losange donc, en particulier, est isocèle en C donc =

ainsi, les 2 triangles et ont 2 côtés égaux = , = et 2 angles égaux = ils sont
donc superposables (cas d’égalité des triangles).

Il en résulte, notamment, que =
donc est partagé en 2 angles égaux.
Or, donc =
donc = =
donc
ce qui montre que les diagonales de sont perpendiculaires CQFD.

Remarque : partage du losange en quatre

Au cours de la 2^e démonstration, à la place du triangle on aurait pu utiliser l’un des trois autres triangles , , isocèles respectivement en , en , en .

On obtient ainsi 4 triangles rectangles en superposables : , , , qui partagent le losange en 4 parts égales.

Cas particulier : les carrés

Un carré ayant ses côtés égaux est donc un losange : il en résulte qu’un carré est un parallélogramme et que ses diagonales sont perpendiculaires.