Théorème

• Si on a un quadrilatère et si ses diagonales se coupent en leurs milieux alors c’est un parallélogramme.

• Si on a un quadrilatère convexe [2] et si les côtés opposés sont égaux deux à deux alors c’est un parallélogramme.

• Si on a un quadrilatère convexe et si deux côtés opposés sont parallèles et de la même longueur alors c’est un parallélogramme.

Démonstration

– Soit un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leurs milieux. Nommons-le et soit le point d’intersection de ses deux diagonales et . Il s’agit de démontrer que est un parallélogramme.

et se coupent en donc et sont opposés par leur sommet
donc ils sont égaux : =
est le milieu de donc =
est le milieu de donc =
donc les deux triangles et ont 2 angles égaux et les côtés de ces angles égaux deux à deux
donc, d’après le 1^er cas d’égalité des triangles, et sont superposables
donc =
ces deux angles étant alternes-internes, il en résulte que //

de même, en utilisant les triangles et , un raisonnement semblable montre qu’ils sont superposables et donc =
ces deux angles étant alternes-internes, il en résulte que //

ainsi, le quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c’est donc un parallélogramme. CQFD

– Soit un quadrilatère convexe dont les côtés opposés sont égaux deux à deux. Nommons-le  : par hypothèse, on a = et = . Il s’agit de démontrer que est un parallélogramme.

Considérons, de plus, la diagonale  [3] : on a alors 2 triangles et .

Ces deux triangles ont leurs côtés égaux deux à deux : = , = , leur côté commun  : on est donc dans le 3^e cas d’égalité des triangles ; les 2 triangles et sont superposables.

Il en résulte que, d’une part, =
et comme ce sont deux angles alternes-internes, on a donc //
et, d’autre part, =
qui sont aussi deux angles alternes-internes, on a donc //

ainsi, le quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c’est donc un parallélogramme. CQFD

– Soit un quadrilatère convexe dont 2 côtés opposés sont égaux et parallèles. Nommons-le et supposons que les côtés opposés égaux et parallèles sont et  : = et // . Il s’agit de démontrer que est un parallélogramme.

Considérons, de plus, la diagonale  [3] : on a alors 2 triangles et .

On a // donc les angles alternes-internes et sont égaux : = .

Ainsi, les deux triangles et ont deux côtés égaux = et les côtés de ces deux angles égaux deux à deux, = et côté commun : on est donc dans le 1^er cas d’égalité des triangles ; les 2 triangles et sont superposables.

Il en résulte que =
qui sont deux angles alternes-internes, on a donc //

ainsi, le quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c’est donc un parallélogramme. CQFD