Théorème

Si deux triangles sont semblables alors leurs côtés sont proportionnels.

Réciproquement, si deux triangles ont leurs côtés proportionnels alors ce sont deux triangles semblables.

Démonstration

– Considérons 2 triangles semblables en nommant le plus petit et le plus grand (s’ils sont égaux, le théorème est évident) de sorte que , et , comme sur la figure suivante.

Puisque  [1] on peut déplacer (en le retournant si nécessaire) le triangle pour qu’il s’emboîte dans le triangle comme le montre la figure suivante :

Ainsi, les angles et sont des angles correspondants
or, ils sont égaux
donc les droites et sont parallèles.

Dans le triangle , est sur le côté , est sur le côté et
donc, d’après le théorème de Thalès, les deux triangles et ont leurs côtés proportionnels.CQFD

Plus précisément, on a :

– Réciproquement, soit deux triangles dont les côtés sont proportionnels ; nommons le plus petit et le plus grand (s’ils sont égaux, la réciproque du théorème est évidente) de sorte que  :

Sur le côté du triangle  [2] , plaçons le point tel que puis traçons la droite passant par G et parallèle à la droite  : elle coupe en , comme sur la figure suivante :

Ainsi, on a des angles correspondants et d’une part, et d’autre part.
Or,
donc et
et comme est sur et est sur , on a aussi
ce qui montre que les triangles et sont semblables.

Par ailleurs, dans le triangle , est sur , est sur et
donc, d’après le théorème de Thalès,
or, donc (2)
reprenons les égalités ci-dessus :
par comparaison entre les égalités (1) et les égalités (2), ona : et
donc et , sans oublier que
ainsi, les triangles et sont égaux.

En résumé, on a montré que, d’une part et sont semblables, et d’autre part et sont égaux,
il en résulte que et sont semblables.CQFD