Théorème 1

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors ces deux droites sont parallèles.

Théorème 2

Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites alors cette troisième droite est perpendiculaire à l’autre.

Démonstration

– Considérons deux droites et et une troisième droite telle que et .

Supposons que et ne soient pas parallèles alors elles seraient sécantes en un point et on aurait 2 droites passant par et perpendiculaires à la droite .

Or, il n’y a qu’une seule droite qui soit perpendiculaire à le droite et qui passe par le point .

Ainsi, la supposition que nous avons faite n’est pas compatible avec cette propriété,
donc et sont parallèles. CQFD

– Considérons deux droites et parallèles et une troisième droite telle que . Soit l’intersection de avec et l’intersection de avec .

Considérons la droite qui passe par et qui est perpendiculaire à le droite .
Ainsi, on a et
donc

Ce qui montre que passe par en étant parallèle à 
et on a aussi passe par en étant parallèle à 

Or, il n’y a qu’une seule droite qui passe par en étant parallèle à  (axiome d’Euclide)

donc et sont la même droite
donc est perpendiculaire à . CQFD