Théorème

Pour tout triangle, les médianes d’un triangle se coupent en un même point.
De plus, ce point d’intersection est situé aux deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet.
Ce point est le centre de gravité du triangle.

Démonstration

Considérons un triangle , le milieu de , celui de et celui de .
Soit le point d’intersection de deux médianes du triangle , par exemple les médianes et . Et pour ces deux médianes, soit D le milieu de et E le milieu de .

Dans le triangle , la droite , passant par le milieu de et celui de , est parallèle à la droite  [1].

De même, dans le triangle , la droite , passant par le milieu de et celui de , est parallèle à la droite .

Ainsi, et sont parallèles car elles sont parallèles à la même droite .

Considérons maintenant les triangles et .

Dans ce triangle , est le milieu de et K celui de donc est parallèle à .

Et dans le triangle , est le milieu de et celui de donc est parallèle à .

Ainsi, et sont parallèles car elles sont parallèles à la même droite .

Il en résulte que le quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux
donc est un parallélogramme
et donc ses diagonales et se coupent en leur milieu.

Or est l’intersection des deux diagonales de donc est le milieu de et de .

Il en résulte que et que
et donc le point d’intersection de 2 médianes du triangle est situé aux deux-tiers de ces médianes en partant des sommets du triangle.

Il en est donc de même de la 3ème médiane qui coupent donc les deux autres en .
Ainsi, les trois médianes du triangle se coupent en un même point. CQFD