Une fonction affine $f$ est une fonction dont la forme algébrique s’écrit $f(x)$ = $ax+b$ et qui est donc déterminée par les deux nombres $a$ et $b$.

Le nombre $a$ est le coefficient directeur et le nombre $b$ est l’ordonnée à l’origine. Ce vocabulaire est lié à la représentation graphique d’une fonction affine qui est une droite.

Ce que nous allons expliquer dans cet article, c’est comment déterminer graphiquement les deux nombres $a$ et $b$ qui interviennent dans l’expression algébrique.

Un 1er exemple

Pour que vous puissiez suivre plus facilement les explications, prenons la représentation graphique d’une première fonction $f$ :

Comme cette représentation graphique est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, la fonction $f$ est affine donc de la forme $f(x)$ = $ax+b$ d’après la définition des fonctions affines.

– Prenons $x$=$0$, on a donc $f(0)$ = $a\times0+b$ = $0+b$ = $b$
donc la droite qui représente $f$ passe par le point de coordonnées $(0 ;b)$.

Sur le graphique ci-dessus, on peut donc lire la valeur de $b$ (l’ordonnée à l’origine) en prenant l’intersection de la droite qui représente graphiquement $f$ et de l’axe des ordonnées : c’est pour cette raison que $b$ se nomme l’ordonnée à l’origine.

Dans cet exemple, on peut lire graphiquement que $b$=$-1$.

– Prenons $x$=$1$, ce qui nous donne $f(1)$ = $a\times1+b$ = $a+b$
Calculons la différence entre $f(1)$ et $f(0)$ :
$f(1)-f(0)$ = $(a+b)-b$ = $a+b-b$ = $a$
Ainsi, la différence entre l’image de $1$ par $f$ et celle de $0$ par $f$ est le nombre $a$.

Sur le graphique , cette différence se lit sur l’axe des ordonnées et donne la valeur du coefficient directeur $a$ : c’est la distance entre l’image de $1$ et celle de $0$ ; elle est positive si $f(1)$ est au-dessus de $f(0)$ et négative dans le cas contraire.

Pour cet exemple, nous avons donc, graphiquement, $a$ = $3$.

En conclusion, la fonction $f$ est telle que $f(x)$ = $3x-1$.

Un 2ème exemple

La lecture graphique de la différence $f(1)-f(0)$ comme dans l’exemple ci-dessus n’est pas toujours aussi aisée. Prenons la représentation graphique d’un 2ème fonction affine $g$ pour le comprendre et voir comment on contourne cette difficulté.

Sur ce graphique, on a encore $b$ = -1 (l’ordonnée à l’origine}) mais la différence $f(1)-f(0)$ n’est pas lisible avec précision :

Pour contourner cette difficulté, on va repérer 2 points de coordonnées entières sur la droite qui représente la fonction affine $g$ : par exemple, le point $A(0 ;-1)$ et le point $B(3 ;4)$ qui sont sur la droite qui représente la fonction affine $g$ :

Considérons alors le chemin suivant pour aller de $A$ à $B$ :

Nous voyons que pour passer du point $A$ au point $B$, on avance horizontalement de $3\, unités$ puis on monte de $5\, unités$. Ce qui donne un triangle rectangle avec le segment de droite $[AB]$.

Or, nous voulions plutôt avancer horizontalement de $1\, unité$ pour monter de $a\, unités$ comme dans le 1er exemple.

Comparons ces 2 triangles, le triangle rouge et le triangle noir :

Le théorème de Thalès nous assure qu’ils ont des côtés proportionnels : $\dfrac{a}{1}$ = $ \dfrac{5}{3} $

donc $a$ = $ \dfrac{5}{3} $

Vérifions en calculant les images de $0$ et de $3$ par $g$ :
$g(0)$ = $\dfrac{5}{3} \times {0}-1$ = $0-1$ = $-1$
$g(3)$ = $\dfrac{5}{3} \times {3}-1$ = $5-1$ = $4$
On retrouve les coordonnées des points $A(0 ;-1)$ et $B(3 ;4)$.

En conclusion, la fonction $g$ est telle que $g(x)$ = $\dfrac{5}{3} {x}-1$.

Un 3ème exemple

Prenons un 3ème exemple avec une fonction $h$ dont la représentation graphique est la droite passant par les points $A(-1 ;5)$ et $B(2 ;-1)$.

La représentation graphique de $h$ étant une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, $h$ est donc une fonction affine et donc de la forme $h(x)$ = $ax+b$.

Graphiquement, on lit que $b$ = $+3$ (l’ordonnée à l’origine) :

Puis, pour passer du point $A$ au point $B$, on avance horizontalement de $+3$ et on descend verticalement de $-6$ (voir les flèches sur le graphique)
donc $a$ = $\displaystyle\frac{-6}{+3}$ = $-2$

Vérifions cela :
$h(-1)$ = $-2\times{-1} + 3$ = $2+3$ = $5$
$h(2)$ = $-2\times{2} + 3$ = $-4+3$ = $-1$
On retrouve bien les coordonnées des points $A$ et $B$.

En conclusion, la fonction $h$ est telle que $g(x)$ = $-2x+3$.

Une formule générale

En fait, on a une méthode générale pour déterminer le coefficient directeur d’une fonction affine : c’est le quotient de la différence des ordonnées par la différence des abscisses correspondantes.

Théorème

Si $f$ est une fonction affine alors, pour tous les nombres $x_1$ et $x_2$ distincts, $a$ = $\displaystyle{f(x_1)-f(x_2)}\over\displaystyle{x_1-x_2}$

Preuve
Soit une fonction $f$ affine et prenons 2 nombres différents $x_1$ et $x_2$.

$f$ étant affine, son expression algébrique est de la forme $f(x)$ = $ax+b$ d’après la définition des fonctions affines.

Avec les nombres $x_1$ et $x_2$, on a : $f(x_1)$ = $ax_1+b$ et $f(x_2)$ = $ax_2+b$

Calculons la différence $f(x_1)-f(x_2)$ :

$f(x_1)-f(x_2)$ = $(ax_1+b)-(ax_2+b)$ = $ax_1+b-ax_2-b$ = $ax_1-ax_2$ = $a\times(x_1-x_2)$

On a donc $f(x_1)-f(x_2)$ = $a\times(x_1-x_2)$

Or $x_1-x_2 \ne 0$ puisque $x_1$ et $x_2$ sont distincts, on peut donc diviser cette égalité par $x_1-x_2$ :

$a$ = $\displaystyle{f(x_1)-f(x_2)}\over\displaystyle{x_1-x_2}$ CQFD

Utilisation
Prenons le 3ème exemple ci-dessus :

la représentation graphique de la fonction affine $h$ passe par les points $A(-1 ;5)$ et $B(2 ;-1)$
donc $h(-1)$ = $5$ et $h(2)$ = $-1$.

Utilisons la formule en prenant $x_1$ = $-1$ et $x_2$ = $2$ : $a$ = $\displaystyle{h(-1)-h(2)}\over\displaystyle{-1-2}$

remplaçons $h(-1)$ et $h(2)$ par leurs valeurs respectives $5$ et $-1$ :

$a$ = $\displaystyle{5-(-1)}\over\displaystyle{-1-2}$ = $\displaystyle{5+1}\over\displaystyle{-1-2}$ = $\displaystyle{6}\over\displaystyle{-3}$ = $-2$

On a donc $a$ = $-2$ qui est bien la valeur que l’on avait obtenu graphiquement.