Bissectrice d’un angle et distance
Théorème
Tout point situé sur la bissectrice d’un angle est à égale distance de chaque côté de cet angle.
Réciproquement, tout point situé à égale distance des deux côtés d’un angle est sur la bissectrice de cet angle.
Démonstration
– Soit un angle de sommet 
et un point 
appartenant à la bissectrice de cet angle.
Considérons 
et 
les distances respectives de à chaque côté de cet angle : les angles 
et 
sont donc des angles droits d’après la définition de la distance d’un point à une droite.
On sait que la somme des angles d’un triangle est égale à 
.
Ainsi, dans le triangle 
, on a : 
=
De même, dans le triangle 
, on a : 
=
.
Or, = puisque ce sont 2 angles droits
et 
=
puisque est sur la bissectrice de 
On a donc 
donc 
Ce qui montre que les triangles et 
ont les mêmes angles.
Or, ces deux triangles ont un côté commun ![[AM]](local/cache-vignettes/L56xH23/467afce5d31a7678d41b602090d6fa38-002e9.png?1685537317 "[AM]"){kind=small}
: ils sont donc supperposables et donc leurs côtés sont égaux et donc 
.
Ce qui montre que est à la même distance des deux côtés de l’angle considéré. CQFD
– Pour démontrer la réciproque de la propriété, considérons un angle de sommet et un point situé à la même distance de ses deux côtés.
En reprenant les mêmes notations que ci-dessus, on a et 
.
est un triangle rectangle en 
: on peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer 
en fonction de 
et :
De même, puisque est rectangle en 
, on a :
Or, donc 
donc 
ce qui donne 
Ainsi, les deux triangles et ont les mêmes côtés : ils sont donc superposables et donc ils ont les mêmes angles.
Ce qui montre que 
donc 
est la bissectrice de l’angle
donc est sur la bissectrice de l’angle considéré. CQFD
RSS 2.0