Dans quels cas un parallélogramme est-il particulier ? Les différents points du théorème suivant répondent à cette question : selon la condition supplémentaire, on peut avoir un rectangle ou un losange ; et même un carré si on a la fois un rectangle et un losange.

Théorème

• Si on a un parallélogramme et si un de ses angles est un angle droit alors c’est un rectangle.

• Si on a un parallélogramme et si deux côtés consécutifs [1] sont de la même longueur alors c’est un losange.

• Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont de la même longueur alors c’est un rectangle.

• Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont perpendiculaires alors c’est un losange.

Démonstration

– Soit un parallélogramme dont un des angles est un angle droit. Nommons-le et supposons que l’angle droit est en  : = 90°. Il s’agit de démontrer que est un rectangle.

est un parallélogramme donc //
Or, = 90° donc
donc
donc = 90°

de même, // et
donc
donc = 90°

enfin, on a aussi = 90° car et sont deux angles opposés du parallélogramme et que dans un parallélogramme 2 angles opposés sont égaux.

En résumé, les 4 angles de sont des angles droits donc c’est un rectangle. CQFD

– Soit un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur. Nommons-le et supposons que les deux côtés consécutifs et ont la même longueur : = . Il s’agit de démontrer que est un losange.

est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont égaux deux à deux : = et =
Or, =
donc = = =

ainsi, a ses 4 côtés égaux donc c’est un losange. CQFD

– Soit un parallélogramme dont les deux diagonales ont la même longueur. Nommons-le  ; les deux diagonales ont la même longueur : = . Il s’agit de démontrer que est un rectangle.

est un parallélogramme donc ses deux diagonales et se coupent en leurs milieux ; nommons ce milieu commun aux deux diagonales.

De plus, par hypothèse, = donc = = = car est le milieu de et aussi de : on a donc 4 triangles isocèles en , , , et .

On sait que, dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux ; d’où la figure codée suivante (saurez-vous expliquer, par exemple, pourquoi les angles et sont égaux ? ) :

Il en résulte que =
donc, en ajoutant aux deux côtés de l’égalité, on a :
=
Or, dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°, notamment dans le triangle  : = 180°
donc = 180°
donc = 90°

ainsi, le parallélogramme a un angle qui est droit donc c’est un rectangle CQFD

– Soit un parallélogramme dont les deux diagonales sont perpendiculaires. Nommons-le  ; les deux diagonales sont perpendiculaires : . Il s’agit de démontrer que est un losange.

est un parallélogramme donc ses deux diagonales et se coupent en leurs milieux ; nommons ce milieu commun aux deux diagonales.

En utilisant le 1^er cas d’égalité des triangles, il en résulte que les 4 triangles , , et , tous rectangles en , sont superposables.
Par exemple, et ont deux angles égaux, = , et les côtés de ces deux angles égaux deux à deux, = avec côté commun, donc et sont superposables.
On a donc = = = .

Ainsi, a ses 4 côtés de la même longueur, c’est donc un losange. CQFD