
Les parallélogrammes particuliers
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Dans quels cas un parallélogramme est-il particulier ? Les différents points du théorème suivant répondent à cette question : selon la condition supplémentaire, on peut avoir un rectangle ou un losange ; et même un carré si on a la fois un rectangle et un losange.
Théorème
- Si on a un parallélogramme et si un de ses angles est un angle droit alors c’est un rectangle.
- Si on a un parallélogramme et si deux côtés consécutifs [1] sont de la même longueur alors c’est un losange.
- Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont de la même longueur alors c’est un rectangle.
- Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont perpendiculaires alors c’est un losange.
Démonstration
– Soit un parallélogramme dont un des angles est un angle droit. Nommons-le et supposons que l’angle droit est en
:
= 90°. Il s’agit de démontrer que
est un rectangle.

est un parallélogramme donc
//
Or, = 90° donc
donc
donc = 90°
de même, //
et
donc
donc = 90°
enfin, on a aussi = 90° car
et
sont deux angles opposés du parallélogramme
et que dans un parallélogramme 2 angles opposés sont égaux.
En résumé, les 4 angles de sont des angles droits donc c’est un rectangle. CQFD
– Soit un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur. Nommons-le et supposons que les deux côtés consécutifs
et
ont la même longueur :
=
. Il s’agit de démontrer que
est un losange.

est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont égaux deux à deux :
=
et
=
Or, =
donc =
=
=
ainsi, a ses 4 côtés égaux donc c’est un losange. CQFD
– Soit un parallélogramme dont les deux diagonales ont la même longueur. Nommons-le ; les deux diagonales ont la même longueur :
=
. Il s’agit de démontrer que
est un rectangle.
est un parallélogramme donc ses deux diagonales
et
se coupent en leurs milieux ; nommons
ce milieu commun aux deux diagonales.
De plus, par hypothèse, =
donc
=
=
=
car
est le milieu de
et aussi de
: on a donc 4 triangles isocèles en
,
,
,
et
.
On sait que, dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux ; d’où la figure codée suivante (saurez-vous expliquer, par exemple, pourquoi les angles et
sont égaux ? ) :

Il en résulte que =
donc, en ajoutant aux deux côtés de l’égalité, on a :
=
Or, dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°, notamment dans le triangle :
= 180°
donc = 180°
donc = 90°
ainsi, le parallélogramme a un angle qui est droit donc c’est un rectangle CQFD
– Soit un parallélogramme dont les deux diagonales sont perpendiculaires. Nommons-le ; les deux diagonales sont perpendiculaires :
. Il s’agit de démontrer que
est un losange.
est un parallélogramme donc ses deux diagonales
et
se coupent en leurs milieux ; nommons
ce milieu commun aux deux diagonales.

En utilisant le 1er cas d’égalité des triangles, il en résulte que les 4 triangles ,
,
et
, tous rectangles en
, sont superposables.
Par exemple, et
ont deux angles égaux,
=
, et les côtés de ces deux angles égaux deux à deux,
=
avec
côté commun, donc
et
sont superposables.
On a donc =
=
=
.
Ainsi, a ses 4 côtés de la même longueur, c’est donc un losange. CQFD