Les parallélogrammes particuliers
Dans quels cas un parallélogramme est-il particulier ? Les différents points du théorème suivant répondent à cette question : selon la condition supplémentaire, on peut avoir un rectangle ou un losange ; et même un carré si on a la fois un rectangle et un losange.
Théorème
- Si on a un parallélogramme et si un de ses angles est un angle droit alors c’est un rectangle.
- Si on a un parallélogramme et si deux côtés consécutifs [1] sont de la même longueur alors c’est un losange.
- Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont de la même longueur alors c’est un rectangle.
- Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont perpendiculaires alors c’est un losange.
Démonstration
– Soit un parallélogramme dont un des angles est un angle droit. Nommons-le 
et supposons que l’angle droit est en 
: 
= 90°. Il s’agit de démontrer que est un rectangle.
est un parallélogramme donc 
// 
Or, = 90° donc 
donc 
donc 
= 90°
de même, 
// 
et
donc 
donc 
= 90°
enfin, on a aussi 
= 90° car et sont deux angles opposés du parallélogramme et que dans un parallélogramme 2 angles opposés sont égaux.
En résumé, les 4 angles de sont des angles droits donc c’est un rectangle. CQFD
– Soit un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur. Nommons-le et supposons que les deux côtés consécutifs ![[AB]](local/cache-vignettes/L48xH23/5e32d4dbe98ef3af1b5123ccba43cbf7-4ea7d.png?1685536841 "[AB]"){kind=small}
et ![[BC]](local/cache-vignettes/L56xH23/25c6a1f25bc97657699ccfd396989bfd-b4f7d.png?1685536841 "[BC]"){kind=small}
ont la même longueur : 
= 
. Il s’agit de démontrer que est un losange.
est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont égaux deux à deux : = 
et 
=
Or, =
donc = = =
ainsi, a ses 4 côtés égaux donc c’est un losange. CQFD
– Soit un parallélogramme dont les deux diagonales ont la même longueur. Nommons-le ; les deux diagonales ont la même longueur : 
= 
. Il s’agit de démontrer que est un rectangle.
est un parallélogramme donc ses deux diagonales ![[AC]](local/cache-vignettes/L48xH23/3ec2b68785ef743e4896d19fb83e1e79-2b79c.png?1685536867 "[AC]"){kind=small}
et ![[BD]](local/cache-TeX/e175905feb1843b45058f30c40c99249.png?1685536902 "[BD]")
se coupent en leurs milieux ; nommons 
ce milieu commun aux deux diagonales.
De plus, par hypothèse, = donc 
= 
= 
= 
car est le milieu de et aussi de : on a donc 4 triangles isocèles en , 
, 
, 
et 
.
On sait que, dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux ; d’où la figure codée suivante (saurez-vous expliquer, par exemple, pourquoi les angles 
et 
sont égaux ? ) :
Il en résulte que 
=
donc, en ajoutant aux deux côtés de l’égalité, on a :
= 
Or, dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°, notamment dans le triangle 
: = 180°
donc = 180°
donc = 90°
ainsi, le parallélogramme a un angle qui est droit donc c’est un rectangle CQFD
– Soit un parallélogramme dont les deux diagonales sont perpendiculaires. Nommons-le ; les deux diagonales sont perpendiculaires : 
. Il s’agit de démontrer que est un losange.
est un parallélogramme donc ses deux diagonales et se coupent en leurs milieux ; nommons ce milieu commun aux deux diagonales.
En utilisant le 1er cas d’égalité des triangles, il en résulte que les 4 triangles , , et , tous rectangles en , sont superposables.
Par exemple, et ont deux angles égaux, 
= 
, et les côtés de ces deux angles égaux deux à deux, = avec ![[CO]](local/cache-TeX/e3b4174dbd606a454fad60a143cce0d8.png?1685537033 "[CO]")
côté commun, donc et sont superposables.
On a donc = = = 
.
Ainsi, a ses 4 côtés de la même longueur, c’est donc un losange. CQFD
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