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Les parallélogrammes particuliers

Publication : (actualisé le ) par Michel Suquet

Dans quels cas un parallélogramme est-il particulier ? Les différents points du théorème suivant répondent à cette question : selon la condition supplémentaire, on peut avoir un rectangle ou un losange ; et même un carré si on a la fois un rectangle et un losange.

 

Théorème

  • Si on a un parallélogramme et si un de ses angles est un angle droit alors c’est un rectangle.
  • Si on a un parallélogramme et si deux côtés consécutifs [1] sont de la même longueur alors c’est un losange.
  • Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont de la même longueur alors c’est un rectangle.
  • Si on a un parallélogramme et si ses deux diagonales sont perpendiculaires alors c’est un losange.

 

Démonstration

 Soit un parallélogramme dont un des angles est un angle droit. Nommons-le ABCD et supposons que l’angle droit est en A : \widehat{BAD} = 90°. Il s’agit de démontrer que ABCD est un rectangle.

ABCD est un parallélogramme donc (BC) // (AD)
Or, \widehat{BAD} = 90° donc (AB) \perp (AD)
donc (AB) \perp (BC)
donc \widehat{ABC} = 90°

de même, (AB) // (DC) et (AB) \perp (AD)
donc (DC) \perp (AD)
donc \widehat{ADC} = 90°

enfin, on a aussi \widehat{BCD} = 90° car \widehat{BCD} et \widehat{BAD} sont deux angles opposés du parallélogramme ABCD et que dans un parallélogramme 2 angles opposés sont égaux.

En résumé, les 4 angles de ABCD sont des angles droits donc c’est un rectangle. CQFD

 

 Soit un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur. Nommons-le ABCD et supposons que les deux côtés consécutifs [AB] et [BC] ont la même longueur : AB = BC. Il s’agit de démontrer que ABCD est un losange.

ABCD est un parallélogramme donc ses côtés opposés sont égaux deux à deux : AB = CD et AD = BC
Or, AB = BC
donc AB = CD = AD = BC

ainsi, ABCD a ses 4 côtés égaux donc c’est un losange. CQFD

 

 Soit un parallélogramme dont les deux diagonales ont la même longueur. Nommons-le ABCD ; les deux diagonales ont la même longueur : AC = BD. Il s’agit de démontrer que ABCD est un rectangle.

ABCD est un parallélogramme donc ses deux diagonales [AC] et [BD] se coupent en leurs milieux ; nommons O ce milieu commun aux deux diagonales.

De plus, par hypothèse, AC = BD donc AO = BO = CO = DO car O est le milieu de [AC] et aussi de[BD] : on a donc 4 triangles isocèles en O, AOB, BOC, COD et DOA.

On sait que, dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux ; d’où la figure codée suivante (saurez-vous expliquer, par exemple, pourquoi les angles \widehat{CBD} et \widehat{ADB} sont égaux ? ) :

Il en résulte que \widehat{CAB} + \widehat{ACB} = \widehat{ABC}
donc, en ajoutant \widehat{ABC} aux deux côtés de l’égalité, on a :
\widehat{ABC} + \widehat{CAB} + \widehat{ACB} = 2 \times \widehat{ABC}
Or, dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°, notamment dans le triangle ABC : \widehat{ABC} + \widehat{CAB} + \widehat{ACB} = 180°
donc 2 \times \widehat{ABC} = 180°
donc \widehat{ABC} = 90°

ainsi, le parallélogramme ABCD a un angle qui est droit donc c’est un rectangle CQFD

 

 Soit un parallélogramme dont les deux diagonales sont perpendiculaires. Nommons-le ABCD ; les deux diagonales sont perpendiculaires : (AC) \perp (BD). Il s’agit de démontrer que ABCD est un losange.

ABCD est un parallélogramme donc ses deux diagonales [AC] et [BD] se coupent en leurs milieux ; nommons O ce milieu commun aux deux diagonales.

En utilisant le 1er cas d’égalité des triangles, il en résulte que les 4 triangles BOC, COD, DOA et AOB, tous rectangles en O, sont superposables.
Par exemple, BOC et COD ont deux angles égaux, \widehat{BOC} = \widehat{COD}, et les côtés de ces deux angles égaux deux à deux, BO = DO avec [CO] côté commun, donc BOC et COD sont superposables.
On a donc AB = BC = CD = DA.

Ainsi, ABCD a ses 4 côtés de la même longueur, c’est donc un losange. CQFD

Notes

[1cela signifie qu’ils se suivent : les deux côtés ont une extrémité commune