Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Théorème

Pour tout parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.

Pour tout parallélogramme, les angles opposés ont la même ouverture.

Pour tout parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

Démonstration

– Soit un parallélogramme, traçons une de ses diagonales : par exemple, comme le montre la figure suivante :

un parallélogramme donc les droites et sont parallèles donc les angles alternes-internes et sont égaux.
De même, les droites et sont parallèles donc les angles alternes-internes et sont égaux.

Ainsi, les triangles et ont un côté commun et les angles adjacents à ce côté qui sont égaux deux à deux : ces deux triangles sont donc superposables de sorte qu’il en résulte que , et .
On a aussi :

En résumé : les angles opposés du parallélogramme sont égaux et les côtés opposés du parallélogramme sont égaux. CQFD

– Reprenons la figure ci-dessus et complétons-là par la diagonale  : les deux diagonales se coupent en un point .

Comme ci-dessus avec les angles alternes-internes et qui sont égaux, les angles alternes-internes et sont égaux puisque les droites et sont parallèles.
Or est sur donc et
de même est sur donc et

On a donc , et  [1]
donc les triangles et sont superposables
donc et

Et comme, d’une part , et sont alignés, et que, d’autre part , et sont alignés, cela montre que est le milieu de et aussi le milieu de  : il en résulte que les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu. CQFD