Propriétés des parallélogrammes
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Théorème
Pour tout parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.
Pour tout parallélogramme, les angles opposés ont la même ouverture.
Pour tout parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Démonstration
– Soit ABCD un parallélogramme, traçons une de ses diagonales : [BD] par exemple, comme le montre la figure suivante :
ABCD un parallélogramme donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc les angles alternes-internes ^ADB et ^DBC sont égaux.
De même, les droites (AB) et (CD) sont parallèles donc les angles alternes-internes ^BDC et ^DBA sont égaux.
Ainsi, les triangles ADB et CDB ont un côté commun [DB] et les angles adjacents à ce côté qui sont égaux deux à deux : ces deux triangles sont donc superposables de sorte qu’il en résulte que ^DAB=^DCB, DC=BA et DA=BC.
On a aussi : ^ADC=^ADB+^BDC=^DBC+^DBA=^ABC
En résumé : les angles opposés du parallélogramme ABCD sont égaux et les côtés opposés du parallélogramme ABCD sont égaux. CQFD
– Reprenons la figure ci-dessus et complétons-là par la diagonale [AC] : les deux diagonales se coupent en un point O.
Comme ci-dessus avec les angles alternes-internes ^ADB et ^DBC qui sont égaux, les angles alternes-internes ^DCA et ^CAB sont égaux puisque les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Or O est sur [AC] donc ^DCA=^DCO et ^CAB=^OAB
de même O est sur [DB] donc ^CDB=^CDO et ^ABD=^ABO
On a donc DC=BA, ^DCO=^OAB et ^ODC=^OBA [1]
donc les triangles ABO et CDO sont superposables
donc OB=OD et OC=OA
Et comme, d’une part O, B et D sont alignés, et que, d’autre part O, C et A sont alignés, cela montre que O est le milieu de [DB] et aussi le milieu de [AC] : il en résulte que les diagonales du parallélogramme ABCD se coupent en leur milieu. CQFD
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