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Égalité de triangles

Les cas d’égalité de deux triangles sont des théorèmes célèbres : il est très simple de les comprendre et ils rendent de grands services pour expliquer et comprendre d’autres propriétés, comme cela est fait sur ce site.

Théorème


 1er cas d’égalité :
Soit deux triangles ABC et DEF tels que AB=DE, BC=EF et ^ABC=^DEF alors ces deux triangles sont superposables.

 2e cas d’égalité :
Soit deux triangles ABC et DEF tels que AB=DE, ^ABC=^DEF et ^BAC=^EDF alors ces deux triangles sont superposables.

 3e cas d’égalité :
Soit deux triangles ABC et DEF tels que AB=DE, BC=EF et AC=DF alors ces deux triangles sont superposables.

 

Démonstration

 1er cas d’égalité :
Considérons 2 triangles ABC et DEF tels que AB=DE, BC=EF et ^ABC=^DEF :

Puisque ^ABC=^DEF, ces 2 angles sont superposables : on peut donc amener le sommet B sur le sommet E, le côté [BA) sur le côté [ED) et le côté [BC) sur le côté [EF), éventuellement en effectuant un retournement.

Or, on a AB=DE donc A et D sont superposés lorsqu’on superpose les deux angles ^ABC=^DEF comme ci-dessus,
et on a BC=EF donc C et F sont superposés aussi dans ce même mouvement.

Ainsi, ABC et DEF sont superposables. CQFD

 

 2e cas d’égalité :
Considérons deux triangles ABC et DEF tels que AB=DE, ^ABC=^DEF et ^BAC=^EDF :

Puisque AB=DE, on peut superposer les deux segments [AB] et [DE], A sur D et B sur E.

On a aussi ^ABC=^DEF donc en superposant les côtés [BA) et [ED) en même temps que les segments [AB] et [ED] (ce qui peut donner lieu à un éventuel retournement), les côtés [BC) et [EF) sont aussi superposés.

De même, puisque ^BAC=^EDF, les côtés [AB) et [DE) étant superposés, les côtés [AC) et [DF) sont aussi superposés.

Or les demi-droites [BC) et [AC) se coupent en C donc l’intersection F des demi-droites [DF) et [EF) va se superposer sur le point C.

Ainsi, ABC et DEF sont superposables. CQFD

 

 3e cas d’égalité :
Considérons deux triangles ABC et DEF tels que AB=DE, BC=EF et AC=DF :

Puisque AB=DE, déplaçons, éventuellement en s’aidant d’un retournement, le triangle DEF de sorte que [AB] et [DE] se superposent et que les sommets C et F soient de part et d’autre de [AB] et traçons le segment [CF] :

BC=EF donc le triangle BCF est isocèle en B donc ^BCF=^BFC
AC=DF donc le triangle ACF est isocèle en A donc ^ACF=^AFC
Il en résulte que l’angle ^BCA, somme des angles ^BCF et ^FCA, est égal à l’angle ^BFA, somme des angles ^BFC et ^CFA [1] .
Ainsi, les triangles ABC et DEF sont tels que BC=EF, AC=DF et ^BCA=^EFD.
Ce qui correspond au 1er cas d’égalité donc les triangles ABC et DEF sont superposables. CQFD

 

Notes

[1dans la figure ci-dessus, le segment [CF] coupe le segment [AB] ; si ce n’est pas le cas, il suffira de soustraire les angles pour obtenir encore l’égalité des angles $\widehatBCAet\widehatBFA$