Théorème

– 1^er cas d’égalité :
Soit deux triangles et tels que , et alors ces deux triangles sont superposables.

– 2^e cas d’égalité :
Soit deux triangles et tels que , et alors ces deux triangles sont superposables.

– 3^e cas d’égalité :
Soit deux triangles et tels que , et alors ces deux triangles sont superposables.

Démonstration

– 1^er cas d’égalité :
Considérons 2 triangles et tels que , et  :

Puisque , ces 2 angles sont superposables : on peut donc amener le sommet sur le sommet , le côté sur le côté et le côté sur le côté , éventuellement en effectuant un retournement.

Or, on a donc et sont superposés lorsqu’on superpose les deux angles comme ci-dessus,
et on a donc et sont superposés aussi dans ce même mouvement.

Ainsi, et sont superposables. CQFD

– 2^e cas d’égalité :
Considérons deux triangles et tels que , et  :

Puisque , on peut superposer les deux segments et , sur et sur .

On a aussi donc en superposant les côtés et en même temps que les segments et (ce qui peut donner lieu à un éventuel retournement), les côtés et sont aussi superposés.

De même, puisque , les côtés et étant superposés, les côtés et sont aussi superposés.

Or les demi-droites et se coupent en C donc l’intersection F des demi-droites et va se superposer sur le point C.

Ainsi, et sont superposables. CQFD

– 3^e cas d’égalité :
Considérons deux triangles et tels que , et  :

Puisque , déplaçons, éventuellement en s’aidant d’un retournement, le triangle de sorte que et se superposent et que les sommets et soient de part et d’autre de et traçons le segment  :

donc le triangle est isocèle en donc
donc le triangle est isocèle en donc
Il en résulte que l’angle , somme des angles et , est égal à l’angle , somme des angles et  [1] .
Ainsi, les triangles et sont tels que , et .
Ce qui correspond au 1^er cas d’égalité donc les triangles et sont superposables. CQFD