Théorème

Si on a l’alignement des points , et , ainsi que l’alignement des points , et de sorte que les points sont alignés dans le même ordre
et si de plus
alors les droites et sont parallèles.

Ordre des points

Une précision en ce qui concerne l’ordre des points : on peut dénombrer 3 situations.

En effet, et étant donné, le point peut être situé entre et ou bien ne pas être situé entre et .
Dans ce dernier cas, il y a 2 possibilités : est sur la demi-droite d’origine qui ne contient pas ou bien est sur la demi-droite d’origine qui ne contient pas .

Voici 3 figures résumant ces 3 situations pour des points , et alignés :

3 situations possibles

Il en résulte que si l’on veut le même ordre pour les points , et , on aura les 3 situations suivantes :

  

  

Démonstration

Plaçons-nous dans les conditions prévus par le théorème :
, et alignés, , et alignés dans le même ordre et .

Prenons la 1^re situation et considérons la figure suivante :

Dans cette figure, on n’a pas placé le point mais on sait qu’il est entre et puisque est entre et et que l’on a le même ordre de placement des points sur ces deux alignements. Nous y reviendrons lorsque nous aurons besoin de cette condition dans la démonstration.
On sait aussi que .

Considérons maintenant la droite qui est parallèle à  et qui passe par  : elle coupe en un point qui est entre et .

Ainsi, , et sont alignés, , et sont alignés et //
donc d’après le théorème de Thalès,

Or, donc

et donc

Comme les points , et sont alignés, cette égalité ne peut se produire que dans 2 cas :
ou bien est le milieu de

Le 2^e cas ne peut se produire puisque et sont tous les deux entre et

On a donc le 1^er cas :
ce qui signifie que et désigne la même droite

donc est parallèle à . CQFD

On a le même raisonnement dans les deux autres situations, comme le lecteur pourra s’en rendre compte.