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Les angles d’un triangle

par Michel Suquet

Théorème

Pour tout triangle, la somme des trois angles est un angle plat.

 

Démonstration

Soit un triangle ABC et reportons l’angle \widehat{BAC} dans le prolongement de [AC) pour obtenir l’angle \widehat{B’CC’} de sorte que C est le milieu de [AC’], B’ et B sont du même côté par rapport à (AC), B’C=BA et \widehat{B’CC’}=\widehat{BAC} comme cela est indiqué sur la figure suivante :




Les angles correspondants \widehat{B’CC’} et \widehat{BAC} étant égaux,
il en résulte que les droites (AB) et (CB’) sont parallèles.


Par ailleurs, les angles \widehat{ABC} et \widehat{BCB’} sont alternes-internes
et, comme (AB)//(CB’), on a donc \widehat{ABC}=\widehat{BCB’}

Enfin, \widehat{ACC’}=\widehat{ACB}+\widehat{BCB’}+\widehat{B’CC’} avec \widehat{BCB’}=\widehat{ABC} et \widehat{B’CC’}=\widehat{BAC}
donc \widehat{ACC’}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}

Or, C est sur [AC’] donc \widehat{ACC’}=180°
donc \widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°

Ainsi, la somme des trois angles du triangle ABC est égale à 180°. CQFD