Les bissectrices d’un triangle
Théorème
Pour tout triangle, les bissectrices des angles se coupent en un même point : ce point est le centre du cercle inscrit au triangle.
Démonstration
Soit 
un triangle, Considérons 
la bissectrice de 
, 
la bissectrice de 
et 
leur point d’intersection.
étant sur la bissectrice de l’angle , est à la même distance des côtés 
et 
:
, 
et 
.
étant sur la bissectrice de l’angle , est à la même distance des côtés 
et 
:
, 
et 
.
Il en résulte que 
donc est le centre du cercle passant par 
, 
et 
et comme , et
ce cercle est tangent aux trois côtés du triangle : c’est le cercle inscrit dans le triangle .
Par ailleurs, on a aussi 
avec et 
donc est à la même distance des côtés de l’angle 
donc est sur la bissectrice de l’angle .
En résumé, les 3 bissectrices du triangle se coupent en un même point qui est le centre du cercle inscrit au triangle . CQFD
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