Théorème

Pour tout triangle, les trois hauteurs se coupent en un même point, ce point est appelé l’orthocentre du triangle.

Démonstration

Soit un triangle .

Complétons la figure en traçant les droites parallèles aux côtés du triangle et nommons leurs points d’intersection [1] par , et , comme cela est indiqué sur la figure suivante :

Considérons une des hauteurs du triangle , par exemple la hauteur issue de et désignons par le pied de cette hauteur, c’est-à -dire le point d’intersection de cette hauteur avec la droite .

Dans le triangle , étant la hauteur issue de B, on a
et, par construction, donc .

Par ailleurs, et donc est un parallélogramme puisque est sur et est sur .

De même, et donc est un parallélogramme.

est un parallélogramme donc

est un parallélogramme donc

donc
et comme , et sont alignés, est le milieu du segment .

Ainsi, la hauteur issue de B est perpendiculaire à  et passe par son milieu : c’est donc la médiatrice de .

De raisonnements similaires avec les deux autres hauteurs de , il en résulte que les hauteurs de sont les médiatrices de .
Or les médiatrices d’un triangle sont concourantes (c’est-à -dire se coupent en un même point)
donc les hauteurs de sont concourantes. CQFD