Théorème

Pour toute fonction affine , la représentation graphique de est une droite.

Inversement, pour toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées, est la représentation graphique d’une fonction affine.

Démonstration

– Considérons une fonction affine avec et  [1]
La représentation graphique de cette fonction est l’ensemble des points de coordonnées .
En prenant et , on a deux points sur ce graphique cartésien : et .

Considérons un point aligné avec et , étant distinct de et de .
Soient les coordonnées de , les points , , ainsi que la droite parallèle à l’axe des abscisses et qui passe par B et donc par les points et , comme sur la figure suivante :

Les droites et sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à l’axe des abscisses ;
avec les alignements et , on peut donc utiliser le théorème de Thalès :
Or, on sait que , , et
donc ce qui donne et donc

Ainsi, le point a pour coordonnées  [2] :ce qui montre que les points alignés avec et sont de coordonnées

il en résulte que la représentation graphique de la fonction f est la droite puisqu’un point est déterminé de façon unique par ses coordonnées. CQFD

– Inversement, considérons une droite qui ne soit pas parallèle à l’axe des ordonnées.

La droite n’étant pas parallèle à l’axe des ordonnées a donc un point dont l’abscisse est 1 ; soit l’ordonnée de . Considérons aussi le point de la droite dont l’abscisse est 0 ; soit l’ordonnée de . Et posons de sorte que les coordonnées de soient .

En prenant un point de la droite , d’après le raisonnement précédent, le point a pour coordonnées  : il en résulte que la droite est la représentation graphique de la fonction affine définie par . CQFD