Théorème

Pour toute fonction linéaire $f$, la représentation graphique de $f$ est une droite qui passe par l’origine du repère.

Inversement, pour toute droite $d$ qui passe par l’origine du repère et qui n’est pas l’axe des ordonnées, $d$ est la représentation graphique d’une fonction linéaire.

Démonstration

– Considérons une fonction linéaire $f : x \mapsto ax$ avec $a \ne 0$ [1]
La représentation graphique de cette fonction est l’ensemble des points de coordonnées $(x ;ax)$.
En prenant $x = 0$ et $x = 1$, on a deux points sur ce graphique cartésien : $O(0 ;0)$ et $A(1 ;a)$.

Considérons un point $M$ aligné avec $O$ et $A$, distinct des points $O$ et $A$.
Soient $(x ;y)$ les coordonnées de $M$ et les points $I(1 ;0)$, $X(x ;0)$ comme sur la figure suivante [2] :

Les droites $(AI)$ et $(MX)$ sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à l’axe des abscisses ; avec les alignements $O$, $I$, $X$ et $O$, $A$, $M$, on peut donc utiliser le théorème de Thalès : $\dfrac{OI}{OX}=\dfrac{AI}{MX}$
Or, on sait que $OI=1$, $OX=x$, $AI=a$ et $MX=y$
donc $\dfrac{1}{x}=\dfrac{a}{y}$ $(1)$ ce qui donne $y=ax$

Ainsi, le point $M$ a pour coordonnées $(x ;ax)$ [3] : ce qui montre que les points alignés avec $O$ et $A$ sont de coordonnées $(x ;ax)$ ; il en résulte que la représentation graphique de la fonction $f$ est la droite $(OA)$ puisqu’un point est déterminé de façon unique par ses coordonnées. CQFD

Remarque : l’égalité $(1)$ ci-dessus donne $a=\dfrac{y}{x}$, ce qui permet de calculer le coefficient directeur quand on connaît les coordonnées d’un point de la représentation graphique de la fonction linéaire.

– Inversement, considérons une droite $d$ qui passe par l’origine du repère et qui ne soit pas l’axe des ordonnées.

La droite $d$ n’étant pas l’axe des ordonnées a donc un point $A$ dont l’abscisse est 1 ; soit $a$ l’ordonnée de $A$.

Considérons un point $M$ de la droite $d$, d’après le raisonnement précédent, le point $M$ a pour coordonnées $(x ;ax)$ : il en résulte que la droite $d$ est la représentation graphique de la fonction linéaire $f$ définie par $x \mapsto ax$. CQFD