Théorème

Pour toute fonction linéaire , la représentation graphique de est une droite qui passe par l’origine du repère.

Inversement, pour toute droite qui passe par l’origine du repère et qui n’est pas l’axe des ordonnées, est la représentation graphique d’une fonction linéaire.

Démonstration

– Considérons une fonction linéaire avec  [1]
La représentation graphique de cette fonction est l’ensemble des points de coordonnées .
En prenant et , on a deux points sur ce graphique cartésien : et .

Considérons un point aligné avec et , distinct des points et .
Soient les coordonnées de et les points , comme sur la figure suivante [2] :

Les droites et sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à l’axe des abscisses ; avec les alignements , , et , , , on peut donc utiliser le théorème de Thalès :
Or, on sait que , , et
donc ce qui donne

Ainsi, le point a pour coordonnées  [3] : ce qui montre que les points alignés avec et sont de coordonnées  ; il en résulte que la représentation graphique de la fonction est la droite puisqu’un point est déterminé de façon unique par ses coordonnées. CQFD

Remarque : l’égalité ci-dessus donne , ce qui permet de calculer le coefficient directeur quand on connaît les coordonnées d’un point de la représentation graphique de la fonction linéaire.

– Inversement, considérons une droite qui passe par l’origine du repère et qui ne soit pas l’axe des ordonnées.

La droite n’étant pas l’axe des ordonnées a donc un point dont l’abscisse est 1 ; soit l’ordonnée de .

Considérons un point de la droite , d’après le raisonnement précédent, le point a pour coordonnées  : il en résulte que la droite est la représentation graphique de la fonction linéaire définie par . CQFD