Un article détaille les liens entre carrés et racines carrées. Nous donnons ici quelques explications en ce qui concerne les règles de calculs avec les racines carrées.

Théorème

Pour tout nombre $a>0$ et $b>0$,
– ${\left(\sqrt{a}\right)}^2 = a$
 
– ${\sqrt{a^2}} = a$
 
– $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
 
– $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Démonstration

– Soit un nombre $a$ positif,
par définition,$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$
d’où l’égalité ${\left(\sqrt{a}\right)}^2 = a$ CQFD

– Soit un nombre $a$ positif,
En utilisant cette définition, ${\sqrt{a^2}}$ est le nombre positif dont le carré est $a^2$
Or, $a$ est aussi le nombre positif dont le carré est $a^2$
donc ${\sqrt{a^2}} = a$ CQFD

– Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs,
par définition, $\sqrt{a \times b}$ est le nombre positif dont le carré est $a \times b$

Calculons le carré de $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ :
${(\sqrt{a} \times \sqrt{b})}^2 = {(\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})}^2 = a \times b$

Ainsi, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est aussi le nombre positif (car produit de deux nombres positifs) dont le carré est $a \times b$
donc $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ CQFD

– voici une autre démonstration (plus courte) de l’égalité précédente :
on utilise les règles ${\left(\sqrt{a}\right)}^2 = a$, ${a^2}\times{b^2}=({a}\times{b})^2$ et ${\sqrt{a^2}} = a$

Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs,
$\sqrt{a \times b} = \sqrt{{(\sqrt{a})}^2 \times {(\sqrt{b})}^2} = \sqrt{{{(\sqrt{a}} \times {\sqrt{b})}}^2} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ CQFD

– Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs avec $b \ne 0$,
par définition, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ est le nombre positif dont le carré est $\dfrac{a}{b}$

Calculons le carré de $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ :
${\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2$ = $\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{(\sqrt{b})^2} = \dfrac{a}{b}$

Ainsi, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ est aussi le nombre positif (car quotient de deux nombres positifs) dont le carré est $\dfrac{a}{b}$
donc $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ CQFD

– voici une autre démonstration (plus courte) de l’égalité précédente :

Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs avec $b \ne 0$,
$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{b}\right)^2}} = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ CQFD