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La droite des milieux

par Michel Suquet

Vous trouverez ci-dessous des démonstrations des trois propriétés liées aux milieux des côtés d’un triangle.

Ces propriétés sont liées au théorème de Thalès comme cela est montré dans l’article consacré à ce théorème. Par ailleurs, on peut démontrer le théorème de Thalès à partir du théorème de la droite des milieux.

Le théorème de la droite des milieux

Pour tout triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.


 

Démonstration :

– Soit un triangle ABC avec D le milieu du côté [AB] et E le milieu de [AC]. Il s’agit d’expliquer pourquoi les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Soit H le point d’intersection de la hauteur issue de A avec la droite (BC) : les triangles ACH et ABH sont rectangles en H.

Comme E est le milieu du côté [AC], E est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle ACH
donc AE = EH
donc E est sur la médiatrice de [AH].

De même, comme D est le milieu de [AB], D est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle ABH
donc AD = DH
donc D est sur la médiatrice de [AH].

Ainsi, (DE) est la médiatrice de [AH]
donc (DE) est perpendiculaire à (AH)
Or, (BC) est aussi perpendiculaire à (AH)
donc les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

 

Le théorème de la parallèle et du milieu

Pour tout triangle, la droite parallèle à un côté passant par le milieu d’un deuxième côté passe par le milieu du troisième côté.


 

Démonstration :

– Soit un triangle ABC avec D le milieu du côté [AB] et E le point d’intersection de la parallèle au côté [BC] passant par D. Il s’agit d’expliquer pourquoi E est le milieu de [AC].

Considérons K est le symétrique de E par rapport à D : le point D est le milieu de [KE].

Ainsi, D est le milieu de [AB] et de [KE] donc AKBE est un parallélogramme
donc (KB) et (AC) sont parallèles
Or, (KE) et (BC) sont parallèles donc KECB est un parallélogramme.

AKBE est un parallélogramme donc KB = AE
KECB est un parallélogramme donc KB = EC
donc AE = EC
comme A, E et C sont alignés, cela nous montre que E est le milieu de [AC].

 

Le segment des milieux

Pour tout triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés est égal à la moitié du troisième côté.


 

Démonstration :

– Soit ABC un triangle avec D le milieu de [AB] et E le milieu de [AC]. Il s’agit d’expliquer que DE est la moitié de BC.

Pour cela, appelons F le milieu de [BC].
Dans le triangle ABC, D est le milieu de [AB] et E est le milieu de [AC]
donc (DE) // (BC)
Dans le triangle ABC, F est le milieu de [BC] et E est le milieu de [AC]
donc (FE) // (AB)
Ce qui0 montre que DEFB est un parallélogramme
donc DE = BF
Or, BF est la moitié de BC
donc DE est la moitié de BC.

Remarque : regardez bien la figure obtenue dans la démonstration : le triangle ABC se trouve partagé en 4 triangles identiques. Ainsi, le triangle ADE a ses côtés qui mesurent la moitié des côtés du triangle ABC mais l’aire du triangle ADE est égal au quart de l’aire du triangle ABC.

 

Le théorème de Varignon

Pour tout quadrilatère, les milieux de ses côtés sont les sommets d’un parallélogramme.

La démonstration de ce théorème utilise plusieurs fois le théorème de la droite des milieux dans des triangles que je vous laisse trouver…